改编题目的灵感

２０１３年第ｌｌ期

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改编题目的灵感

申

中图分类号：Ｏｌ“

文献标识码：Ａ

强

文章编号：１００５一“１６（２０１３）ｌｌ一００１３—０２

（东北师范大学附属中学，１３００２４）

在北京举办的２０１３年全国数学竞赛命题工作研讨会上，来自复旦大学附属中学的李朝晖老师给出下面一道题．

记．ｓ是长度为７的０／ｌ数字串（共２７＝

１２８个）组成的集合，ｒ为其一个１６元子集，满足ｒ中任意两个元素的“距离”不小于３（距离是指对应数位出现不同数字的次数）．证明：若０００００００∈ｒ，则１１１１１１ｌ∈Ｚ

证明略．

原解答证明了：若这样的集合ｒ存在，则

ｌｌｌｌｌｌｌ∈Ｚ

问题是这样的集合ｒ是否真的存在呢？很容易将原题中的０／１数字串和七元集合的所有子集建立起联系，而“选出七元集合的性质比较好的７个三元子集”使笔者想到了尼姆游戏后手必胜的条件——逻辑异或

为０，即

｛１，２，３｝、｛１，４，５｝、｛ｌ，６，７｝、｛２，４，６｝、｛２，５，７｝、｛３，４，７｝、｛３，５，６｝．

再加上其补集及空集、全集，恰满足条件．

笔者还注意到，此题目中用到了“一个数字串的邻域中的元素个数是２的幂”这个事实，而它依赖于“字符串的长度是２的幂减ｌ”．而逻辑异或可以看成以二进制数为元素的集合的对称差．

会上，又恰逢李秋生老师和何忆捷老师均提到了和对称差有关的题目，并指出如今以对称差来出题比较流行．于是，灵感由此而来，发现原题和下面的题目是等价的．

题目记．ｓ＝｛１，２，３｝，ｒ为以Ｓ的所有

收稿日期：２０１３一ｃｒ７—１５修回日期：２０１３—０８—０３

万方数据

非空子集为元素的集合，Ｕ为以ｒ的所有子集为元素的集合．若ｙｃＵ，ＩｙＩ－１６，满足对任意的石、），∈ｙ（戈≠ｙ），均有Ｉ髫△，，ｌ≥３（“△”表示对称差）．若彩∈ｙ，证明：ｒ∈矿

【分析】类似于多个数的逻辑异或的定

义，可定义若干个集合的对称差为属于这些集合中奇数个集合的元素组成的集合，例如，

｛ｌ｝△｛１，２｝△｛１，２，３｝＝｛１，３｝．

记７为以Ｓ的所有子集为元素的集合

（即亍＝ｒｕ｛ｆ２ｊ｝）．定义函数＾¨亍，使得对

任意的茗∈Ｕ，均有八茗）＝△口．

例如，若茗＝｛｜１，２｝，｛２，３｝｝，则以戈）＝｛ｌ，３｝．

定义ｙ为｛茹ｋ∈ｕ，以菇）＝彩｝，即ｙ＝

Ｋ＋屹，其中，

Ｋ＝｛ｇ，｛｛１｝，｛２｝，｛１，２｝｝，｛｛ｌ｝，

｛３｝，｛ｌ，３｝｝，｛｛２｝，｛３｝，｛２，３｝｝，

｛｛ｌ｝，｛２，３｝，ｓ｝，｛｛２｝，｛ｌ，３｝，ｓ｝，｛｛３｝，｛１，２｝，Ｓ｝，｛｛ｌ，２｝，｛１，３｝，｛２，３｝｝｝，

Ｋ＝江一ｌ石∈Ｋ｝．

这里面的道理也是不难说明的．事实上，任何两组非空集合，若对称差相同，则把它们放在－一起后的对称差为１２ｊ，成对删去相同的集合后至少需要剩下三个互不相同的集合．否则，一个或两个不同的非空集合的对称差不可能为ａ．

此题能否推广呢？答案是肯定的．这就是笔者根据各位老师所讲的题目后改编得到的．

推广设Ｓ为ｎ（ｎ≥２）元集合，ｒ为以Ｓ

的所有非空子集为元素的集合，ｕ为以ｒ的

所有子集为元素的集合．若ｙｃＵ，使得任意

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中等数学

的ｘ、ｙ∈ｙ（ｘ≠ｙ），均有Ｉ菇△ｙＩ≥３（“△”表口、６∈Ｚ

示对称差）．

则以），）△以彳）＝以），△ｚ）（１）求ＩｙＩ的最大值；

＝以茗△｛口｝△戈△｛６｝）（２）当Ｉｙｌ达到最大值时，若彩∈ｙ，证＝以｛口｝△｛６｝）＝口△６≠ｆ２ｊ明：ｒ∈Ｅ

（或八），）△八ｚ）＝口≠彩）．

【分析】（１）类似上面的方法，对任意的（ｉｉｉ）在映射，下，因为亍中的每个元素菇∈Ｕ，定义茹的邻域Ⅳ（石）ｃＵ：

被取到的次数相等，所以，

Ⅳ（茗）＝｛髫△｛口｝ｌ口∈７｝．ｌｙＩ＝２２“８～．

则对任意的菇、），∈ｙ（算≠，，），有（２）注意到，在（１）的构造方法中，由于Ⅳ（戈）ｎⅣ（ｙ）＝ｊ２ｊ．

火ｒ）＝囝（这是因为Ｓ的每个元素均在集合所驯服揣＝鬻－２２４一１．

ｒ中共出现了２”１次，其为一个偶数），从而，

ｒ∈矿

定义：ｙ＝｛髫Ｉ石∈Ｕ，八菇）＝ｇ｝．假设还有另一个∥符合条件，且ｒ∈只需证明：Ｉ

ｙ｜－２２“”１．

ｙ’，这表明，ｙ的元素中有一个２“一ｌ元集，（ｉ）对任意的并、ｙ∈Ｕ，均有而ｙ’中没有．对任意的戈∈Ｕ，称ｌ戈Ｉ为石的

’

以舅△），）＝八石）△以，，）．

“重量”．

事实上，根据多个集合对称差的定义，将ｙ和ｙ’中，重量为２８一ｌ的元素个数分别为ｌ和０，而重量为０的元素个数均为ｌ，两组集合并为一组去求对称差时，删去其中重量为１和２的元素个数均为Ｏ．设七为最小的任意对相同的集合，对称差是不变的．

的整数，使得ｙ和ｙ’中重量为｜｜｝的元素个数（ｉｉ）对任意的茗∈Ｕ，均有不相等，则知＞２．

以Ⅳ（菇））＝｛八ｙ）Ｉｙ∈Ⅳ（石）｝＝Ｚ这样一来，ｙ和矿的所有元素的邻域中，事实上，对任意的ｙ、ｚ∈Ⅳ（菇）（ｙ≠ｚ），重量为Ｉ｜｝一ｌ的元素数目不相等，但它们均应记ｙ＝菇△｛口｝，ｚ＝戈△｛６｝（或ｚ＝菇），其中，恰完全覆盖Ｕ，矛盾．

（上接第４页）

数学竞赛）

提示：易证么ｃＡＧ＋么ＡＣＧ＝９００专ＡＧ

提示：设圆心为Ｄ．先证曰０上ＡＣ，ＣＤ上

上识又ＣＤ上ＡＦ，故日为△Ａ粥的垂心．

肋，得Ｄ是△胎Ｃ的垂心，进而，知ＰＤ上

从丽．ＦＨＬＡＣ．

Ｂｃ．又可证ＤＦＪ－ＢＣ，故Ｐ、Ｄ、Ｆ三点共线．

电ＢｃＬＡｃ．祷ＨＦ力ＢＣ。参考文献：

［１］２００８青少年数学国际城市邀请赛［Ｊ］．中等数学，

４．如图９，线段ＡＢ、

２００９（１）．

曰Ｃ、∞分别与圆切于点［２］２０１１年＜数学周报＞杯全国初中数学竞赛［Ｊ］．中等

Ｅ、Ｆ、Ｇ，且肥＝ＢＣ＝ｃＤ，

数学，２０ｌｌ（５）．

［３］２００７青少年数学国际城市邀请赛［Ｊ］．中等数学，

联结ＡＣ与肋交于点Ｐ，

Ｃ

２００８（１）．

联结ＰＦ证明：ＰＦ上曰Ｃ

［４］２０ｌＯ中国西部数学奥林匹克［Ｊ］．中等数学，２０１１

网９

（第１０届江苏省初中

（Ｉ）．

万方数据

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作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

申强

东北师范大学附属中学,130024中等数学

High-School Mathematics2013(11)

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