高中数学古典概率问题探讨

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翻新时间：2023-07-01

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高中数学古典概率问题探讨

摘要：高中数学古典概率问题是概率计算中一个十分重要的内容，也是学生学习的一个难点。古典概率能处理随机现象，学生不易掌握其基本方法，所以在古典概率教学中，教师应当重视讲授思考的方法和问题的解法，培养学生的思维能力。本文从创造性思维入手，多角度地分析了古典概率题型中的问题，以期不断提高学生应对多种古典概率题型的能力。

关键词：高中数学古典概率问题分析

一、古典概率与排列组合的关系

在等可能事件问题中，满足某种条件A的事件发生的概率 P（A）=

。这里的m为 A 中包含的基本数件数（也可以说是受条件 A 限制的事件发生的情况数目）， n 是基本事件总数（也可以说是不受 A 限制的基本事件的情况数目）。所以，教师只有强化排列组合的教学，学生才能比较容易解决此类问题。

二、古典概率题型典型多角度思维例题分析

例1：袋中有a只黑球，b只白球，它们除颜色不同外，没有其他差别。现在把球随机地一只一只摸出来，求第k次摸出的球是黑球的概率（1 ≤ k≤ a + b）。

以下介绍几种解法：

解法一：若把a只黑球和b只白球都看做是不同的，我们将所有的球都一一摸出依次放在排成一直线的 a + b个位置上，第 k 个位置只能是任一个黑球。

解析：设事件A={第 k 次摸出的球是黑球}（下同），则基本事件总数=（a + b）！。

事件 A 包含的基本事件数= （a + b - 1 ）！，故所求的概率

P（A ） = = 。

解法二：可以把a只黑球和b只白球都看做是不同的，然后只考虑前k次摸球，第k次摸到黑球。

解析：基本事件总数=Pka+b，事件 A 包含的基本事件数 =aPk -1 。故所求概率 P（A）= =

解法三：不区别同色球，仍把摸出的球依次放在排成一直线的 a + b 个位置上。基本事件总数就是从 a + b 个元素中取出 a 个元素的组合，事件 A 包含的基本事件数就是从 a + b - 1 个元素中取出 a - 1 个元素的组合。

解法：基本事件总数= ，事件 A 包含的基本事件数为，故所求概率 P（A ） = 。

解法四：由题意可知，显然每一个球在第 k次被摸出是等可能的，所以可以只考虑第k次摸球情况。

解法：基本事件总数= a + b，事件 A 所包含的基本事件数= a，故所求的概率 P（A ） = 。

分析：解法

一、解法

二、解法四是把球看做独立的，因此需要考虑球的顺序，用排列法解决;解法三不区别同色球，因此不用考虑顺序，用组合的方法即可。其实，我们可以发现本题的结果与 k 无关。在平常生活中有许多这样的例子，如体育比赛前进行的抽签，对各队的机会均等，与抽签的先后次序无关。本题是一个不放回的抽样问题，有一定的典型性。这里的白球、黑球可以换为甲物、乙物或合格品、不合格品等，解法相同。

三、古典概率问题解法总结

1.建立恰当的概率计算模型

求事件的概率时，许多学生往往不知怎么入手，这就要求教师根据题中所给条件，通过联想、转化、抽象等方法，找到问题的关键。如果教师能建立既新颖又巧妙的概率计算模型，就能使问题迎刃而解。在古典概率的计算中，通常有球入盒子模型、抽样检查模型、电路开关模型等类型。

2.运用概率公式转化问题

对于比较复杂的事件，有时很难划分成几个简单的事件，难以进行概率计算。这就要求学生根据概率的某些性质转化问题，把复杂事件转化为几个简单的事件之和，从而降低解题难度。

3.力求一题多解，培养学生的发散思维能力

在学习古典概率时，学生普遍反映不易掌握其规律，习题难做，好不容易想到一种解法，其结果也不好验证。这就要求教师拓宽学生的思维空间，培养学生的发散思维能力，引导学生一题多解、一题多用。如果能通过多种解答得出相同答案，那么将大大提高答案的准确性。

参考文献：

[2]马忠林.数学思维理论[M].南宁：广西教育出版社，2001.