物理事例在不定积分学习中的应用

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翻新时间：2022-11-02

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物理事例在不定积分学习中的应用

摘要：本文结合相应的物理事例，对不定积分的学习内容进行具体的分析，在加深对概念理解的同时，对知识之间的相互联系也形成了牢固的认识。从而对相关运算的求解，实际问题的分析、解决，就能够做到迎刃而解，达到事半功倍的效果。

关键词：物理事例；不定积分；概念分析

在高数的学习过程中，仅仅通过直接讲述概念，只能形成对知识的表层理解，无法领悟知识之间的联系和作用。因此，深入分析概念，引入相应的事例具体讲解，往往可以起到事半功倍的效果。

在学习不定积分的过程中，基本概念建立在对原函数的理解认识上。若不明白原函数具有的物理意义，就会使所学习的知识变成一堆公式，干枯无味。而由原函数的定义：如果在区间I上，可导函数F（x）的导数是f（x），那么称函数F（x）是f（x）在区间I上的原函数。可知通过求导来确定原函数。因此如使用导数来分析动点运动的物理意义的这样的事例，同样可以结合到原函数概念的学习中。根据原函数定义，可以通过分析函数f（x）在什么条件下一定存在原函数，从而对原函数的存在问题形成新的认识。这一点通过动点的速度来计算路程来解释。

通过以上分析，可以得到以下两点：第一，对原函数存在定理进行了事例性讲解。如果函数f（x）在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F（x）使对任一x∈I都有F′（x）=f（x）。简单的说就是连续函数一定有原函数。第二，对闭区间内连续函数的原函数求解及具体问题值，有了探索的途径。

接下来讨论原函数之间的关系。由F′（x）=f（x）可得（F（x）+C）′=f（x），其中C为常数，所以F（x）+C也是f（x）的原函数。由常数C的任意性，函数f（x）有无数多个原函数，那么这些原函数之间有什么关系哪？

设函数Φ（x）作为f（x）的另一个原函数，受任意常数C1的影响，使之具有无数个原函数Φ（x）+C1，因此若想讨论原函数之间的关系是否仅受到常数的影响，就可以通过原函数之间的差运算，在C=C1时，分析Φ（x）-F（x）的结果。而（Φ（x）-F（x））′=0，从而Φ（x）-F（x）=C0，说明原函数之间仅相差一个常数。

综上可以得到，函数f（x）在区间I上连续，f（x）存在无数多个原函数，而任意原函数之间只差一个常数。函数f（x）的全体原函数称为在区间I上f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx，且∫f（x）dx=F（x）+C。

通过对不定积分概念的认识，不定积分∫f（x）dx仍然表示函数，因此，不定积分∫f（x）dx在其定义区间I内任一点x∈I处的导数，所表示的几何意义仍然是不定积分函数在x点处对应切线的斜率。而由函数f（x）的全体原函数F（x）+C构成的不定积分图形是F（x）的曲线沿y轴上下平行移动得到的一族曲线。平移大小和方向由C决定，C代表平移单位大小，C的正负代表积分曲线分别向正方向或负方向平移。那么由不定积分的几何意义，对这一族曲线在区间I上，横坐标为x的点处的切线的斜率相等，且都是f（x），也就是（∫f（x）dx）′=f（x）。基于以上的讨论，就建立起来不定积分运算与求导运算的关系，它们互为逆运算。

以上是对不定积分内容理解的分析过程。通过引用物理事例的学习方式，在对不定积分概念的学习中，可以加深对概念理解的同时，对知识之间的相互联系也形成了牢固的认识。从而对相关运算的求解，实际问题的分析、解决，就能够做到迎刃而解，达到事半功倍的效果。而这样开拓思维的学习方式，更易于激发学生的创新思维。使学生在学习过程过，发现问题，分析问题，解决问题，形成对知识的创新性认识。