素数极限问题探讨

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翻新时间：2023-08-06

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素数极限问题探讨

【关键词】素数；自然数；因数

素数即只能被1和它自身整除的自然数.随着自然数的不断增大，素数的个数也在不断增多，就意味着因数的不断增加.自然数的不断增大和因数的增多就意味着素数的个数就可能要减少，那么当自然数大到某个数后，是否就没有素数了，就是说素数是否有尾呢？借助计算机对素数个数进行计算、统计、分析，显示出二者的变化关系趋势.

1.素数的算法

优化算法4：在计算机编程计算时可进一步优化计算工作量.首先，自然数n的末位数为偶数或5时则该数可以被2或5整除，故该自然数一定不是素数.在编程时可以只对末位数为除5以外的奇数进行素数判断，进一步减少需要进行素数判断的自然数.其次，在算法3中因数i取值范围2～n，末位数为偶数或5的因数进行i×j=n的运算结果必然是末位数为偶数或5的自然数n，故对于需要进行判断的末位数为除5以外的奇数自然数n而言末位数为偶数或5的因数i一定不是自然数n的因数.在自然数n与因数i的整除运算判断素数是因数i的实际运算范围可以确定为3～n中末位数为除5以外的奇数，这样可以进一步减少计算机运算工作量.

2.计算结果分析

其次，再来看一下随着自然数的增加对应的素数总数增量关系.在图2的线性坐标系中显示的素数个数在每一亿自然数区间非线性减少，具有渐近X轴趋势，似乎是一种无限接近而又不能到达X轴，因此在双对数坐标系中查看二者关系有什么变化趋势.图3显示了素数总数-自然数在双对数坐标系中非线性变化关系：自然数每增加一个数量级（10倍），小于这个自然数的所有素数总个数也增加若干倍，但素数增加倍数小于10（表1），且二者呈非线性关系增加（图3），由于二者关系曲线在Y=X曲线下方，显然素数增加的速度小于自然数，而且曲线呈下凸特征，没有渐近水平趋势，即素数总个数没有趋于某一上限趋势，也就是说素数总数将会随着自然数增加而无限增加下去.表1中自然数按10倍比例关系继续增加下去可以构成一组比例为10的等比正项级数数列.随着自然数的10倍关系增加素数总个数呈大于6倍的比例关系增加，而且随着自然数的增加，素数增加的倍数也在增大，且有渐近10的趋势（表1），当然其增加的比例关系上限不可能超过自然数增加的倍数10，即图3中素数曲线有接近Y=X曲线趋势但不会超越.

差值素数倍数大10倍而增加的倍数素数总数随自然数扩最大素数值素数总个数最大自然数

3.结论

【参考文献】

[ 1 ]魏贵民.高等数学[M].北京：地质出版社，1999.