浅析均值不等式的使用技巧

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翻新时间：2023-03-26

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浅析均值不等式的使用技巧

【摘要】均值不等式是初等数学的一个难点，在很多问题中，我们要通过变形、配凑等技巧，使得复杂问题转化为适合使用均值不等式的简单问题.

【关键词】配凑；换元；消元；因式分解

均值不等式在初等数学中有着非常广泛的应用，在证明不等式成立问题或解决最值问题时，作用显得尤为突出.利用均值不等式解题的关键是凑“定和”和“定积”，要根据不等式的结构，配合一定的变形技巧，比如拆分、配凑等方法，把复杂问题转化为适合使用均值不等式结构的简单问题，从而顺利解决问题.本文主要对均值不等式的使用技巧做一个归纳，以供大家参考.

（四）换元巧解

例4已知a，b，c为△ABC三边的长，求证：abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

证明设m=a+b-c，n=b+c-a，p=c+a-b，则根据三角形两边之和大于第三边，得到m>0，n>0，p>0，且m>0，n>0，p>0，a=n+p2，b=m+p2，c=n+m2，于是abc=n+p2・m+p2・n+m2≥np・mp・mn=mnp=（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

点评通过换元，能改变不等式结构，从而发现均值不等式的使用方法.

结语均值不等式是初等数学的一个难点，许多复杂的最值问题或不等式证明问题，通过适当的技巧处理，可创造性地使用均值不等式，进而实现去繁变简、巧妙解题的目的.这就需要我们在日常的学习过程中，注意思考、反省和总结，才能得心应手地使用均值不等式去处理问题.