揭示概念的本质演绎过程的精彩

2013年9月下旬，江苏省高中数学青年教师优质课评比与观摩活动在我校举行，笔者有幸作为参赛选手，开设了题为“对数的概念”的展示课，教学实施中，笔者在引领学生揭示数学概念的内涵和本质属性、经历数学概念发生和发展的过程方面作了一些探索和尝试，受到了评委和听课老师们的一致好评，以小组第一的成绩获得省一等奖.下面是这节课的教学设计与教后感悟，与大家共享.1基本情况

1.1学情分析

学生来自无锡市辅仁高中的一个普通班，这是一所具有百年历史的江南名校，是江苏省首批四星级重点高中.他们基础扎实，思维活跃，喜爱数学，善于思考，勇于发表自己的见解.进入高中阶段的学习近一个月，已基本适应了高中数学的学习方法，学习能力尤其是自学能力得到了较好的锻炼，不仅学习热情高，而且有很强的模仿能力，也具备了一定的类比迁移和探索创新的能力.

“对数的概念”是苏教版必修一第32节《对数函数》第一课时的教学内容，安排在指数函数后，对数函数前，是指数概念和指数函数的回顾、深化和延续，同时又是学习对数运算和对数函数的基础.此前，学生已经学习了分数指数幂、指数函数等内容，知道了指数运算就是已知底数和指数求幂值，而本节课要学习的对数则是已知底数和幂值反过来求指数.对数的学习既能加深学生对指数的理解，又可以为后面的对数的运算性质和对数函数的学习打好基础，起到承上启下的作用.

1.3目标定位

教学目标：通过实例使学生认识到引进对数的必要性，让学生在实际背景中了解对数的意义，经历对数概念的形成过程；帮助学生理解对数的概念，认识对数与指数的相互联系，熟练地进行指数式与对数式的互化，体会转化与化归的思想；引导学生发现关于对数的常用结论，了解常用对数和自然对数和对数的发明史，培养学生探究意识和分析问题、解决问题的能力.

教学重点：对数的概念，指数式与对数式的互化；难点：对数概念的理解.

1.4教学方法

充分运用引导发现和讲练结合的方法，突出教师的“导”和学生的“探”，借助多媒体课件、计算器等工具，让学生经历知识发生和发展的过程，理解概念的本质属性，在积极参与和充分活动下学会思考，大胆探索，建构知识，体会思想，形成技能.2过程设计

2.1创设情境，引出课题

师：同学们，在指数函数的学习中我们研究过这个问题：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.

我们知道，若设该物质最初的质量是1，则经过x年，该物质的剩留量为y=0.84x.建立这个函数关系式可以实现计算预测的功能，只要知道时间x就可以计算剩留量y.比如，经过3年剩留量是多少？

问题经过了3年，剩留量是多少？

数学语言0.843=0592704

运算类型指数运算ab=N（已知底数a和指数b，求幂值N）

师：反过来，如果我们测得了剩留量y，怎么求出所经过的时间x呢？比如剩留量为05，经过了多少年？

由此引出：“已知底数和幂值求指数”的研究课题.

设计意图通过实例说明研究对数的必要性.引导学生用数学语言表述问题，回顾指数运算.由剩留量y求时间x，让学生发现“已知底数和幂值求指数”的新问题，引发认知冲突，激发学习兴趣.

师：0.84x=0.5中x存在吗？唯一吗？能否借助之前所学的指数函数内容加以说明？

师生活动引导学生利用指数函数图像和性质分析得出0.84x=0.5中x存在且唯一.

设计意图关注学生的认知规律，引导学生用旧知识解决新问题，反映知识的联系性，体现数形结合的思想，同时为引入对数打下基础.

师：既然这样的数是存在的，那么它是多少呢？我们如何表示它呢？解决的办法就是给它一个新记号，比如若a3=5，则a=35.这里我们用一个简单的数学符号来表示x，记作x=log0.840.5，读作以084为底05的对数.那么一般地，已知底数a和幂值N怎么求指数呢？

2.2师生活动，建构数学

（1）定义概念

引导学生得出：

如果a（a>0，a≠1）的b次幂等于N，即ab=N，那么就称b是以a为底N的对数（读法），记作logaN=b（写法），其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

板书a>0，a≠1，ab=NlogaN=b.

（2）概念解读

师：b叫做以a为底N的对数，a叫做对数的底数，N叫做真数.

问：在指数式中，a，b，N的名称叫什么？（待学生思考后给予回答）

师：对数的写法和符号表示也有讲究.我们用四线三格来规范书写.

正确写法：错误写法

logaN是一个整体.离开了底数和真数的孤立符号log是没有意义的.类似于x；

设计意图对数符号是学生学习的难点，注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误，强化学生对对数符号的认识和理解.这里联系英文单词“四线三格”进行规范，可以收到很好的效果.

师：引进对数符号logaN=b，它的含义是什么呢？

生：对数式logaN=b的含义就是指ab=N.

师：因此根据对数的定义可知，ab=N与logaN=b两个等式所表示的是a，b，N这3个量之间的同一个关系.两种写法可以相互转化.

设计意图明确指数式和对数式中a，b，N是同一个量，理解指数式与对数式的相互关系，互化也体现了等价转化的数学思想，为探究对数的基本性质和对数式指数式的互化做好铺垫.

（3）性质探究

问：根据定义，a>0，a≠1，那么对数式中b和N的范围是什么？ 师生活动引导学生回忆指数函数y=ax的图像和性质，回答a，N，b的范围.

生：底数a>0，a≠1，b∈R，N>0.（板书：负数和零没有对数.）

设计意图引导学生利用指数式与对数式的互化关系，认识a，b，N的范围，加深对定义的理解.

学生活动学生口答，并提炼结论loga1=0，logaa=1.

设计意图尝试使用对数的定义探究出对数的一些基本性质，体会数学定义的价值和指数式与对数式相互转化过程中蕴含的等价转化的思想方法.

2.3尝试运用，深化理解

学生活动先让学生口答，再请学生到黑板上展示解答结果.

学生活动以口答的形式回答上述问题.

师：log5125=3正确吗？

生：正确，回到指数式53=125来看就清楚了.

师：很好！说明大家已经把握住对数概念的本质了.

设计意图熟悉指数与对数的互化，加深概念理解.从说、写两个角度规范学生的数学表达.

师生活动学生解答，教师巡视答题情况，并利用投影交流学生的解法.

生2：设log264=x，则2x=64=26，所以x=6.

教学预设由于很容易看出26=64，故此处学生可能不需要设x，不强求，第（2）问中学生不会很容易地得出相应的指数式，通过设x将对数式转化为指数式的可能性更大.

（2）生3：设log927=x，由定义知9x=27，即32x=33，得2x=3，解出x即可.

师：很好！先假设对数值为x，转化为指数式，根据指数式确定x的值，用对数的定义来解决.

设计意图帮助学生在应用的过程中进一步认识对数概念的本质，加深对对数概念的理解，掌握对数式与指数式的互化方法，培养学生的运算能力和分析问题、解决问题的能力.

学生练习求下列各式的值：

设计意图了解学生对对数概念掌握情况，巩固所学知识，为引入两个重要结论做好准备.

师生活动猜想：a>0，a≠1，N>0，alogaN=N.师生探讨证明方法.

设计意图借助练习与讨论的方式，让学生提炼出结论并证明，培养学生分析问题、观察归纳的能力.结论的发现和证明又进一步深化了学生对概念的认识和理解.

回扣结论loga1=0，logaa=1，loga1a=log1aa=-1都可以统一于结论logaab=b.

学生活动引导学生利用结论logaab=b（a>0，a≠1，b∈R）解决问题.

设计意图利用发现的结论再次来解答前面的例题，将例题和练习融合，从概念到应用，从练习再回到例题，交替螺旋上升，始终围绕着对数概念这个中心.

师：lg12，lg0.84的值是多少？

师生活动请同学们用计算器计算lg12和lg0.84（保留四位小数）.

设计意图鼓励学生使用计算器进行探索发现，感受现代信息技术在数学中的作用.

师：同学们使用计算器的时候有没有注意到在lg这个按键的右边的ln这个符号？

师：同学们，“常用对数”“自然对数”的名称很特别.为什么称之为常用对数？自然对数又自然在哪里？感兴趣的同学，有两本书：《不可思议的e》和《漫话e》值得一读，从中一定能找到答案.

设计意图指导学生查阅有关资料、书籍，了解一些数学文化方面的知识，渗透数学发展史和数学文化的教育，激发学生学习数学的兴趣，提升学生的数学素养.

师：回到开头的问题，计算log0.840.5≈39755，即经过大约4年剩留量是原来的一半.

2.4回顾反思，提炼升华

师：同学们，让我们一起来来回顾一下整个对数知识发生和发展的过程.（师生共同总结回顾）

师：任何数学模型都是以大量的具体例子为现实原型的.我们由具体问题引进对数的概念.从对数概念的建立过程可以看出指数与对数的互化关系，这也体现了一个重要数学思想：转化与化归.基于这一互化的关系，我们畅游于指数式和对数式之间，得到对数的基本性质：a>0，a≠1，N>0，总结出四个常用结论：loga1=0；logaa=1；logaab=b，alogaN=N，还认识了对数中的两个宠儿“常用对数”和“自然对数”，这所有的一切都围绕着定义. 师：请看课本79页《阅读》.（第一段：对数是由苏格兰数学家……；第二段：18世纪的欧拉…….）

（学生看书，教者动画显示并朗诵配音）

师：对数在简化运算上有着巨大的作用.我们已经研究了指数的运算性质，对数源于指数，那么对数会有哪些运算性质？自然世界和社会生活中许多变化现象需要不同的函数模型来刻画，我们还将研究新的函数模型.这些内容我们将在接下来的几节课中加以研究.

设计意图对本节课的教学内容进行梳理和概括.将课本中的阅读内容有机地融合到课堂总结中，既让学生了解了对数的发明史，又向学生介绍了对数在简化运算中的价值，感受数学对推动社会发展的作用，激发学生学习数学的热情，将本节课与后续的运算性质和对数函数模型等内容连贯起来.3教后感悟

3.1体会课程的意图，用好教材的资源

接到参加比赛的通知，面对“对数的概念”这一课题时，最让笔者纠结的问题就是“如何组织教学内容？”市教研员张建良老师的一句话让我茅塞顿开：“要深刻理解教材的编写意图，充分用好教材的资源.”教材是课程资源的核心部分，是教学活动的媒介和载体，也是教师开展教学活动的主要依据.在新课程理念下，教师要树立“用教材去教”的思想，合理而有效地去使用教材，再根据学生的情况，对教材进行适当的取舍和调整上展示自己的教学智慧，演绎教学的精彩.

在反复阅读教材的基础上，笔者拟定了教学过程的四大板块：一是设计问题情境，通过教材中的具体实例让学生体会学习对数的必要性，从而引出课题；二是让学生在对数概念的发生、发展的过程中了解知识形成的脉络，认识其内涵与外延，实现意义建构；三是在尝试概念运用的过程中探究对数的性质，体会分类、转化等数学思想方法，深化对对数概念本质的理解；四是利用阅读材料，渗透数学史，引导学生对学习过程进行回顾反思，梳理知识和技能，经历“再发现”，在提炼中升华.

在教学实施中，我充分利用了教材中的问题、例题和习题，对其进行多角度、多层面、立体式的挖掘，并借助多媒体课件和计算器等现代教学技术，让学生在积极思考、动手操作和合作交流的过程中获取知识、体会思想、掌握方法、形成技能、学会学习，收到了很好的教学效果.授课结束后，评委和听课老师们对我求真务实、“用教材教”给予了高度的评价，认为能把握教材的编写意图，在课堂教学的过程中创造性地使用了教材，设计得很精彩，值得学习和借鉴.

3.2揭示概念的本质，促进学生的理解

《高中数学课程标准》中指出：“数学概念教学要让学生在生成中感受数学本质，切实提高学生的数学素养，凸显数学教学的育人功能”.这表明：对数学概念本质属性和内在联系的揭示是概念教学的重要环节.数学概念的教学要以概念的发生和发展过程为线索，通过问题驱动，引导学生积极思考，使学生在探索、辨析、感悟和运用中认识概念的内涵和外延，把握概念的本质特征，提升自己的思维，完善自己的知识体系，构建自己的数学思想，促进自己的数学理解.

对数概念的本质属性体现在“运算、等价、符号”这三个关键词上.对学生而言，对数是一种新运算，要让学生在经历困惑的同时，感到运算生成的必要性.指数式和对数式的等价，是对数概念的核心，蕴含着化归与转化的思想，为解决本节课的所有问题提供依据，教学时要着力解决.对数符号体现了数学化的思想，是制约学生理解概念的一个不可忽略的因素，教学时通过类比“若a3=5，则a=35”，帮助学生理解对数符号的意义，从而建构起对数的完整概念.

在教师启发下学生能模仿得出对数的定义，接下来的任务就是解读定义，“逐句分析”、“咬文嚼字”是常用方法.通过对“运算、等价、符号”的剖析，从不同角度揭示对数概念的内涵，实现概念的理解.在此基础上，围绕“等价”，进行“互化”训练，围绕“运算”，运用不同方法求对数值.在运用的过程中，落实“符号”的规范书写.最后借助特例启迪，引导学生探究发现，得出对数的重要性质和若干结论，使学生领略对数的优越性.这样处理，从学生反馈的情况看效果很好.

3.3理清知识的脉络，演绎过程的精彩

数学思维研究中的核心是问题解决，而问题解决的关键则是对数学概念的深刻理解.这就要求学生不仅仅学习概念的知识――形式化的结论内容，而且必须经历概念发生、发展和应用的过程，探索知识的源泉，理清知识的脉胳.对数的概念源自实际需要，其产生从阿基米德到纳皮尔《奇妙的对数表的说明》的问世，人类思维经历了一个由具体到抽象的漫长过程.现行教材上对数的概念是建立在指数基础上的，这种处理是从知识的系统性和联系性来考虑的，是合理的，但存在简单化的倾向.

人类经过漫长探索才逐渐形成对数的概念和运算方法，这反映出人们对对数的理解存在一定的难度，前人如此，学生更应如此.怎样化解这一难点，是教学中需要着力解决好的问题.认知的历史发生原理告诉我们：数学学习的认知顺序应与历史上该内容的发生和发展顺序相一致.基于此，在设计教学时，笔者按照对数概念形成的难点进行分析，探索学生在学习此概念时可能存在的障碍，让学生亲历概念形成过程中的探究活动，感知概念的发现历程，体验数学发现的成功喜悦.

可以说，本节课在教师的引领下，借助多媒体和计算器等现代教学技术，学生经历了发现和完善对数概念的过程.通过解决实际问题的需要和对加减、乘除等互逆运算的类比，学生认识了对数运算；教学中抓住指数式与对数式的“等价”关系，进行互化训练，深化了学生对概念的理解；在解决对数值近似计算的问题时，利用计算器，自然巧妙地引出常用对数和自然对数；回顾反思中将阅读材料的学习和数学史的渗透有机地结合在一起，将课堂推向了高潮.学生不但学会了知识，而且学会了学习.

当然，这节课的实施，也有许多不足，存在一些缺憾.例如课堂上担心内容多，害怕时间紧，在提出问题时，给学生思考、讨论和交流的时间少了些，对学生的疑问与困惑关注不够；在情境创设的引入部分显得有些琐碎，花的时间多了点，而在组织学生去探究对数的重要性质和结论时又比较匆忙，没能很好地从对数和指数的关系入手，引导学生利用已有的指数性质，通过推理得出对数的性质.在今后的教学中，要注意改进，让课堂教学更有利于学生的学习和成长，更受学生的欢迎和赞赏.

参考文献