翻新时间：2023-08-06
两类概率模型的探讨及一道模拟题的反思
摘 要：古典概型是最基本的一种概率模型.由于学生在学习古典概型中把概率公式的法则作为重点，而忽视古典概型的“基本事件”和“等可能性”这两个概念，就形成了一种“一讲就会，一做就错”的现象.结合一道引起争议的模拟题的错解，再次来解读教材中古典概型的知识结构，并以摸球模型和分球入盒模型给出古典概型问题的一些有用方法.
关键词：古典概型；基本事件；摸球模型；分球入盒模型
一、背景资料
例题：现有三个小球全部随机地放入三个盒子中，设随机变量X为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，求X的数学期望E（X）.
学生没想到这样的做法是不是满足古典概型模型.
二、古典概型解读
一个模型只有满足基本事件的有限个和等可能性这两个特征时，才能用下面计算随机事件的概率公式：
P（A）=■.
所以要用古典概型解决某些问题，应该分三步进行：
1.确定基本事件；
2.验证所确定的基本事件是否满足古典概型的要求；
3.如果满足古典概型的条件就利用古典概率的计算公式计算所关心事件的概率；否则重新确定基本事件并回到第2步.在上面的第2步中，确定各个基本事件发生的可能性是否相等时，也许还会用到其他古典概型的知识.
同时掷两个骰子的可能所有结果：
三、例题分析
例题：现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量X为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，求X的数学期望E（X）.
探究：将3个小球记为a，b，c，放入三个盒子的可能所有结果为：
（a，b，c），（a，c，b），（b，a，c），（b，c，a），（c，a，b），（c，b，a）
（ab，c，0），（ab，0，c），（0，ab，c），（0，c，ab），（c，ab，0），（c，0，ab）
（ac，b，0），（ac，0，b），（0，ac，b），（0，b，ac），（b，ac，0），（b，0，ac） （**）
（bc，a，0），（bc，0，a），（0，bc，a），（0，a，bc），（a，bc，0），（a，0，bc）
（abc，0，0），（0，abc，0），（0，0，abc）
对比学生做法：将3个相同的小球分成三类：
现由（**）构成的古典概型来计算（***）中每个试验结果的概率，则P（（1，1，1））=■，P（（3，0，0））=■.显然由（***）代表的基本事件不是等可能的，这些基本事件就不能构成古典概型，因此■不能作为标准答案.
四、常用模型
下面通过几个典型例题的分析，就球模型和球盒模型的解题方法做一些浅显的分析与探讨.
1.摸球模型 例1.袋中有4个红球，3个白球，从中任取3个球，求：
（1）A=“有放回依次取到红、白、红三个球”的概率；
（2）B=“有放回取到两个红球，一个白球”的概率；
（3）C=“无放回依次取到红、白、红三个球”的概率；
（4）D=“无放回取到两个红球，一个白球”的概率.
（3）这是一个无放回按次序摸球问题.总体的基本事件数为A37，B包含的基本事件数为A24・A13，所以P（C）=■.
（4）这是一个无放回无次序摸球问题.总体的基本事件数为C37，D包含的基本事件数为C24・C13，所以P（D）=■.
2.分球入盒模型
A={指定的3个盒子中各有1个球}；
（2）基本事件总数为A45，A包含的基本事件数为A34，B包含的基本事件数为C24・A24，所以P（A）=■；P（B）=■.
（2）基本事件总数为C25・A44，A包含的基本事件数为A35，B包含的基本事件数为C25・A33，所以P（A）=■；P（B）=■.
一般地，古典概型问题基本上都可归入上述两种类型.因此，对于古典概型的概率计算问题，经题意分析，对号入座后按上述方法进行剖析、计算，问题就能顺利地解决.
本文内容仅是本人的教与学的反思，作出了对高中古典概型内容的浅显解读与对古典概型计算解法的分析与总结，如有不当，请批评与指正.
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