从“微雕”视角谈数学教学“增效”的切入点

摘 要：什么样的教学才算高效？有人说：“高效教学是教师在相对短的时间，让学生获得更多更深的知识和能力。”有人说：“高效教学就是在有效空间里，采取恰当的形式，激发学生的学习积极性、主动性，让学生参与教学过程，获取有效知识与能力。”无论从何种角度分析教学高效，都应该从教学的本质入手，从教学的基本构成因素入手。在这个意义上，所谓教学高效，即学生高效学习和教师高效教学达成有机统一的课堂。高中新课程改革如沐春风，为一线教学带来无限生机和活力，为激活课堂带来巨大变革。走在课堂前沿的教师更是如鱼得水，践行新课改基本理念，融入个人智慧和思考，创造性地呈现多样精彩的教学设计。难以整体彻底达成高效，但可以从“微雕”视角，让数学教学增效一点，让学生优秀一点。

关键词：微雕；情景；数学；课堂

一、数学课堂教学增效的背景

（一）一个典型导学案

课题：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

考纲要求：了解空间向量的正交分解，掌握其坐标表示。

学习目标：

1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；

2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；

3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标。

学习重点：空间向量基本定理、空间向量的坐标表示；

学习难点：空间向量基本定理的理解及应用；

学习过程：

一、课前学习

复习1：平面向量基本定理：

复习2：平面向量的坐标表示：

平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的两个 向量■，■作为基底，对平面上任意向量■，有且只有一对实数x，y，使得■=x■+y■，则称有序数对（x，y）为向量■的 ，即■= 。

二、新课进行

探究一：空间向量的正交分解

阅读课本第92页到第93页，思考：

1.平面内的任意向量■都可以用两个不共线的向量■，■来表示（平面向量基本定理），对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？

2.在空间中，如果用任意三个不共面向量■，■，■代替两两垂直的向量■，■，■，你能得出类似的结论吗？

归纳：

（2）空间向量基本定理：如果三个向量■，■，■ ，那么对空间任一向量■，存在有序实数组{x，y，z}，使得■=x■+y■+z■。把 叫做空间的一个基底，■，■，■都叫做基向量。

反思：

（1）平面向量的基底要求两个基向量不共线，构成空间向量基底的三个向量有什么条件？

（2）空间任意一个向量的基底有 个。

（3）基向量和基底一样吗？■能否作为基向量？

思考：

什么是单位正交基底？什么是空间向量的坐标表示？

归纳：

（1）单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量两两 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用{i，j，k}表示。

（2）空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量■，且设i，j，k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x，y，z}，使得■=x■+y■+z■，则称有序实数组{x，y，z}为向量■的坐标，记着■= 。 .

练习：

计算单位正交基之间的数量积：■・■，■・■，■・■，■・■，■・■，■・■。

探究二：用基底表示向量

例1.已知向量■，■，■是空间的一个基底，从向量■，■，■中选哪一个向量，一定可以与向量■=■+■，■=■-■构成空间的另一个基底？

变式：1.已知O，A，B，C为空间四点，且向量■，■，■不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面？

2.若{■，■，■}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）

A.■，2■，3■ B.■+■，■+■，■+■

C.■+2■，2■+3■，3■-9■ D.■+■+■，■，■

小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面。

例2.如图（课本94页），M，N分别是四面体QABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用■，■，■表示■和■.

变式：课本第94页练习3

三、总结提升

1.空间向量的正交分解及空间向量基本定理；

2.空间向量坐标表示

（二）课堂现状质疑

这是一个学校一线课堂典型的导学案，主要出炉过程：一个月前，备课组根据学科教学指导意见，结合学生基础，进行课时分解；组织备课组内教师集体研讨，分配每人3～4课时导学案编写任务；组内教师研究教材和指导意见，参考上一届的导学案，广泛收集资料编写初步导学案；教师个体对导学案细细审核、修改；备课组集体研讨导学案，提出各自不同意见；教师个体重新调整导学案，并油印；上课教师提前一天做导学案，组内教师质疑、交流上课操作细节，对设计进行微调；具体上课过程关注学生中使用导学案；课后反思教学得失。 应该使导学案的整个操作流程非常成熟、成型，但实际教学效果为什么依然不理想。实际上导学案的背后依然有不少问题值得商榷。

主要体现在导学案的设计过程还是粗糙，质量上不平衡，取决于老师的精心和用心，也表现在具体教学环节的把握和课堂上恰到好处的运用和变通。

导学案是学习的路线图、方向盘、学步车。导学案的功能重在“导”，核心在“学”，而“案”是指教师课前要在集体备课的基础上形成具有本班特色的课堂教学互动方案。与传统的教案不同，导学案不仅要备教材，更重要的是要备学生、备学法。导学案要做到“四化”：知识问题化、问题层次化、层次梯次化、梯次渐进化。

之所以目前导学案教学效果不佳，还是在于导学案没有真正发挥它的功能。

追求教学增效是每位教学一线老师始终憧憬而又乐此不倦追求的，不是新生事物。从有课堂教学的那一时刻起，教师就一定有追求课堂高效的愿望，但是，为什么追求高效课堂又成了我们现实教学的新追求、新话题？这也许是我们当前教育发展的最急切需要，以前，在应试教育的大背景下，学校师生加班加点，学生失去了成长的乐趣，教师失去自己的闲暇，过早衰老，换来的结果是什么？如果这样努力能培养出出类拔萃的人才也就罢了，因为学生、教师、家长付出得太多了，但是实践证明我们并没有培养出多少高尖人才，这说明了什么？这说明我们的教育存在很多的弊病，所以，我国提出教育改革，改变应试教育，推行素质教育。

由于我国大学优质教育资源的限制，高考制度的改革跟不上素质教育改革的进程，成为制约教育发展的瓶颈。作为中小学教师，一方面有责任坚决贯彻执行党和国家的方针政策，坚定不移地推进素质教育；另一方面又要满足老百姓对升学教育的需求，在实际的教学中，既要减轻学生的课业负担，更要提高学生思维能力和人文素养，在高考的竞争中求得一席之地，于是，追求课堂高效，或者是让课堂增效一点点，便成为众人追求的焦点。只是随着素质教育的推进和新课程、新高考的实施，我们与以前所追求的高效课堂发生了本质的变化，由原来的注重教师的教转向注重学生的学，“教为了学”，由原来只注重对提高学生学习成绩的单向追求转向了对提高学生学习成绩、学习能力、个性品质、情感态度价值观等多元化的追求。

作为一线教师，是教学高效的实践者和落脚点，你不能有多大动作，但你可以在关键环节改变一点，让课堂增效一点，这或许是本文的一个设想，也是可以有所作为的。

二、数学课堂教学增效的意义

教学增效的表现：

1.课堂活起来。任何教学法只有触及学生的情感领域，它才能发挥作用，乐学是学好的前提。

2.学生学起来。只有学生主动参与，学习才有可能发生，所以，我们在课堂上要关注学生思维参与的深度、广度与自觉程度。

3.教师导起来。教师的导，体现在：组织课堂、指明学习方向、教会学法、解决疑难、检测评价。教师的导，要求：有长度、有深度、有宽度。教师导学的智慧，主要体现在：理念要“生本”，专业要“精深”，教技要“精湛”，风格要“独特”。换句话说，对教师的要求：有思想、有智慧、有激性、有个性、有文化。教促进学的两种方式：一是从短效看，教直接促进学，通过教师的教，学生学得更多、更快、更深、更易，但如果不教，学生就不会；二是从长效看，是教间接促进学，不是教现成的知识，而是通过教，学生从中慢慢悟出学习的道理，掌握了学法，提高了思维能力，教是为了不教。当然，高效课堂更多的是体现在第二种促进方式上。

4.内容实起来。教学过程始终是师生互动、创设问题情境、激发兴趣、帮助理解、穿插巩固、及时反馈、狠抓落实的过程。教学过程始终围绕教学目标展开，既要防止教学内容的泛化，又要防止因教学活动过度外化阻止了学生思维活动的深度参与。

5.效果好起来。反对只以追求应试成绩为目标的课堂教学，落实三维教学目标，实现学生的全员、全面、全程发展，忘记考试之后剩下的才是教育。

三、数学课堂教学增效的切入点

（一）关注学生现有基础，以新颖的设计为增效的切入点

美国教育家杜威先生说过：“教学不仅仅是一种简单的告诉，教学应该是一种经历，一种体验，一种感悟。”教师在备课过程中要以学生初学的角色来设计知识的经历情境。根据多届学生教学实践的丰富素材和教育教研的见闻，进行对比、联系、优选，以是否蕴含鲜活的数学思想，是否以扎实有效获得基础为目标。

教学设计是提高学习者获得知识、技能的效率和兴趣的技术过程，它的功能在于用系统的方法设计理想的教学过程，使之成为一种具有操作性的程序，以提高教学效率和教学质量。其关键是能否在最短的时间内顺利完成突破重点、难点的任务，是否能够吸引学生的眼球并让学生全神贯注、饶有兴趣的探求。

比如普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1第一章常用逻辑用语，关于“命题的否定”知识点的教学。一般认为有效做法是通过设置题组，进行对比训练，通过训练达到区分“否命题”与“命题的否定”的要求。但实际上最恰当的教学设计可以另辟蹊径。我们知道，数学学习的核心是概念，所以应该从“命题的否定”的概念入手，找到学生能浅显易懂的方式，对“命题的否定”的概念进行重新解读。 “数学源于生活”，把对数学概念的理解和生活联系起来，往往可以收到事半功倍的效果。笔者联想到最近学校里的一场辩论赛的场景，发现辩论双方驳斥对方观点的过程就是数学中“命题的否定”过程。比如正方的观点是“所有的行星都绕着地球运行”。暂且不论对方观点是否正确，若只是考虑驳斥对方的观点，我们如何提出怎样的观点？一般有两种提法：一种是“所有的行星都不绕着地球运行”；另一种是“所有行星不都绕着地球运行”。到底哪种提法有利于驳斥对手。这两种说法尽管只有细微的差别，但实际的含义却有天壤之别。若是采用第一种提法，寻找证据就非常麻烦，你不可能把宇宙中的所有行星罗列出来，然后说明它们都不是绕着地球运行的。采用第二种提法就高明多了，既然对方说“所有的行星都绕着地球运行”，那么找到一颗行星不绕地球运行就可以把对方的观点驳倒了。所以辩驳的观点应该是“所有行星不都绕着地球运行”。“不都”的含义就是还存在例外，即至少还存在一颗行星，这样就和对方的观点形成争锋相对的效果。若对方的观点是错的，我们的观点就是正确的。

这个知识点教学就可以这样设计，以16世纪“地心说”和“日心说”的两大理论阵营为辩论双方，引出对辩论过程中“驳斥”技巧的思考；然后围绕着如何驳斥“地心说”的观点进行阐述，通过两种观点的比较，进而明确反驳对方的观点的实质就是命题的否定；最后从辩论回归数学，通过具体的实例归纳命题的否定，先理解原命题的实际意义，然后以驳斥对方观点的视角写出命题的否定。这样设计最大的亮点是以生活的视角解读数学概念的原理，不仅通俗易懂、生动有趣，而且对学生是全新的体验。

（二）关注教师课前准备，以充分的预设为增效的切入点

所谓“预设”，简而言之就是“预先设定、事先计划”。“凡事预则立，不预则废。”预设是课堂教学的基本要求。它就是教师根据教学目标、学生的兴趣、学习需要及已有的经验，以各种形式有目的、有计划地设计教学活动。简言之就是要解决以下五个问题：这节课教什么？要求学生达到怎样的目标？教师提供什么材料？教师怎么教、学生怎么学？在每一个环节里，如何提问、预计学生会怎样回答？如何精心预设，我觉得至少应该做好以下几点：

1.备课求“细”。对教学内容理解一要准确，二要深刻；对数学的本质，一要抓住，二要放大。对学生的认识一要全面，二要深入。备课时要求教师做到“五有”：脑中有“课标”，胸中有“教材”，目中有“学生”，心中有“差异”，手中有“方法”。

2.导学案求“精”：内容要适切（与学生的认知起点相结合，利于学生自学）；形式要科学规范（项目齐全、有效、规范、实用），课前抽批要及时（导学的使用一定要严格，从学生的保管、装订，学生的书写，收缴检查，到错题的订正，信息的反馈，都有对学生的严格要求）。

3.对学生的学法指导要有针对性和实用性，而且要根据教学过程的进展，根据不同特点的教学内容，根据学生不同的年龄阶段，采取切实有效的指导。

4.加强研究，教师要结合教学实际、学生实际以及教师自身的教学特点，对不同的教学方法、策略进行整合、嫁接、创新，创建具有学科特色的课堂教学模式。

充分的预设也要预备丰富的生成，高效的课既离不开预设，又不能没有生成，离开了生成，学生就不能活学活用，教学也就失去了它最终的意义。如何促进生成，就成为新课程背景下教师必须解决的一个问题。通过这段时间的学习，使我领悟到可从以下几方面入手：

1.创建民主和谐的课堂环境。新课程的标准要求以学生为主体来安排课堂教学，要为学生努力构建一种开放、和谐、愉快、自主探究的学生环境，为学生创造一个学习知识的平台，唤起学生学习的欲望，从而让学生能在课堂上不断生成，促进学生全面发展。

2.课堂教学目标要明确、重点要突出、难点要有突破措施。

3.教学方法求“灵活”，灵活使用教学方法，激发学生学习兴趣。自主学习与合作探究相结合，学习新知与查漏补缺相结合，当堂检测与课下复习相结合，使学生真正成为学习的主人。

4.提问求“高效”。用问题驱动课堂，提问要科学、高效，能促进学生思维参与的深度、广度和自觉程度。

5.评价要科学。采用多元、多主体的评价方式，发挥评价的激励、鼓舞和唤醒功能，提高学生情感参与的积极性。

6.提升教育机智。课堂是动态的，存在着不稳定性和不确定性，为生成性课程资源的生成创设了良好的条件，但是如果教师不能及时捕捉生成资源，那它就会稍纵即逝。这就需要教师拥有一双慧眼敏锐地发现、捕捉、利用这些资源。当课堂上出现动态教学资源信息时，教师应该及时捕捉资源，联系目标，促使生成，将之融入教学过程进而夯实观点、培养能力、提升情感。

7.雕琢教学细节。在构成课堂的众多因素中，具体的教学细节是构成课堂的基本单位。细节决定成败，教学细节是成功教学的关键。要丰富课堂生成，实现课堂教学的有效性，教师必须从关注课堂教学的细节开始，且要讲究预设和生成，要学会反思，不断地呵护精彩的生成。

课堂小细节，教学大文章。有人是这样理解教学细节的：“课堂教学细节犹如一颗颗珠子，如果每一颗珠子打磨得晶莹剔透，那必将是一串美轮美奂的项链。”“课堂教学细节就像大树上的一片片绿叶，只有沐浴在温暖的阳光下，它才会焕发出生命的活力。”

课堂教学细节不仅仅是一种过程，更是师生生命活动的状态。师生的精神状态和情感就是课堂教学效果的直接体现。要使课堂教学增效一点点，我们可以做到，改变课堂上一个表情、一个动作、一句评价、一声激励、一种引导、一次点拨――，只要课堂上敏锐地抓住它，深入地挖掘它，就会给我们以启迪，给课堂注入养料，为精彩课堂增效。

教学大智慧是由一个个容易忽略的教学细节积淀而成。对教学细节的把握源于对教学艺术的娴熟运用。细节，让教学生辉；教学，因细节而伟大！

（三）关注教学目标定位，以厚重的落实为增效的切入点 让教学增效一点，需要少一份作秀，多一份厚重。教学的厚重主要表现在三个“精”：精准、精致、精妙。

1.精准。精准就是在新课程理念下，能将本节课的教学目标落实得十分到位与准确。以三个公理的发现为例，教师充分挖掘可利用的生活资源及运用恰当的教学手段，引导学生通过直观感知、操作确认、理性思考以及三种语言的描述和转换来经历公理的归纳、概括过程，最终形成对公理的完整认识。具体就是：首先，十分巧妙、贴切地设置三个探究问题，目的是唤醒学生头脑中已有的经验；其次，通过师生对话、交流，特别是教师不动声色的追问，可以十分自然贴切地将学生的思维引导到正确的轨道上来，指导学生独立、完整、清晰总结出公理。最后，公理发现后，教师更应趁热打铁，让学生寻找公理在生活中的应用，从中欣赏到一个个漂亮有趣的生活实例。“瓦工用直木条刮地上的水泥浆”就是公理一的应用。“自行车停在地面上需支上车梯”就是公理二的应用。“一扇门要关住就需要两个合页和一把锁”就是公理二的应用。目的只有一个，就是进一步丰富充实对公理的认识。这样，通过“三多”：多举例、多感受、多交流，来认识、掌握公理，可以说是将课程“直观感知、操作确认”的理念体现得淋漓尽致。

2.精致。张奠宙教授认为：教师是教学的组织者、指导者、合作者，同时也是领导者和示范者。教师的示范，非常重要，现在几乎不提，很遗憾。对于起始课，教师要十分规范而细致。因为无论模仿学习还是迁移学习都必须有基础，这个基础就是范式。

3.精妙。教材对平面三个公理教学的处理方法是并举，即在公理发现的同时，若要用到新的符号语言，再做介绍和说明。这样会顾此失彼，导致两个重点都不突出：学会使用三种不同数学语言，特别是符号语言；三个公理的发现。这里可以做巧妙的再处理，先重点突破三种语言的互译，等学生熟悉了、清楚了，再乘势而上发现公理，从而更好地将重心落实到公理本质的揭示上。如此安排就是基于学情的高瞻远瞩，是真正领悟了“用教材教”的真谛。看似不经意的精彩生成，其实离不开教师事先的精心思考和巧妙安排。

四、数学教学增效应注意的问题

1.在课堂教学增效推进的过程中，学校要相信教师的变革能力，教师要相信学生的适应能力及发展潜能。

2.做好评价与培训，使师生都具有开放的心态和高度的自信。

3.避免因活动的外化而影响了个别学生思维参与的深度。

4.要注重学生参与的全员性及全程性，避免尖子生的霸权或尖子生吃不饱的问题，也要防止个别学生在活动中的盲目参与以及在学习中的被动等待。

5.避免因强调学生的学而忽视教师导的作用。

6.澄清认识，充满信心，贵在坚持。师生暂时的不适带来的部分问题总是可以解决的，绝不都是模式本身的问题。只要我们长期坚持，就会有意想不到的收获。

7.教学有法，但无定法，创造性地使用模式，形成自身独特的具有个性的教学风格是我们永远的追求。

教师的素质是课堂增效的基础。教师的教育观念和教育情怀决定了他的课堂走向，在课堂实施进程中，教师是以培养学生的知识技能为目标，还是以培养学生能力及个性特长为目标，是因材施教还是精英教育，不同的“学生观”及“评价观”决定了课堂达到的高度。教师的专业知识及教育学心理学知识储备是否丰富，驾驭课堂的能力如何，教师是否具有亲和力，对学生的认知特点及认知基础分析是否到位，能否提出引起学生思维深度参与的恰时恰点的问题等，都是决定课堂是否能够增效的重要因素。因此，加强校本教研与师资培训，提高教师素质应是课堂教学增效的前提。

参考文献：

[2]郭其俊.中国名校高效教学.南京大学出版社，2013-01.

[3]张厚刚.有效教学的基本功.世界图书出版公司。2008.

[4]吕增锋.初探数学“微课”.中学数学教学参考，2014

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