向量中的化归利器

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翻新时间：2023-07-24

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向量中的化归利器

化归思想在数学中可谓无处不在.比如，我们学习过的函数，千变万化，数不胜数，但只要重点研究几类简单而特殊的函数就行了.如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，这些函数是基本的初等函数.对其他复杂函数的研究，可将它们化归为对这些基本的初等函数及其相互关系的探讨.因此，只要掌握了一些基本的对象，再加上一定的化归方法，就能以少胜多，以简驭繁.

函数如此，平面向量也如此.平面上任意一个向量可选择的方向是无穷的，是否能用有限的向量来表示平面内的所有向量呢？平面向量基本定理告诉我们，只要两个不共线的向量就足够了：

a=λl el +λ2 e2.

我们把不共线的向量el，e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

由此看来，平面向量基本定理集向量线性运算与多重化归功能于一身，自然会成为解决问题的利器.

用基底表示相关向量是平面向量基本定理应用中关键的一环.借助三角形、平行四边形或共线（平行）线段间的比例关系实现相关向量与基底的沟通，是较常见的方法.但有时，向量间的关系比较隐蔽，不易从图形中察觉它们的联系，此时可结合平面向量基本定理确立的代数关系，确定相应的系数.二字：

其一，平面向量基本定理将平面向量的线性运算（即向量的加法、减法、数乘）全部统一整合在一个定理之中，体现了数学的统一性与和谐性.

其二，平面向量基本定理实现了点与实数对之间的一一对应，通过向量的代数（或代数化）运算，有助于解决几何中的长度、角度等度量问题，从而实现了几何与代数的相互转化，使得向量成为一种可通过代数运算刻画几何对象的工具.

此外，平面向量基本定理可将复杂的问题简单化.在一个问题中，有可能涉及多个向量.根据平面向量基本定理，我们只要选择两个不共线的向量作为基底，就可以将其他向量都用基底线性表示出来，由于基底的选择具有灵活性，在解决问题时，选择恰当的基底，又可使问题的形式得以简化.