高中数学最值问题解法探讨

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翻新时间：2023-02-15

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高中数学最值问题解法探讨

[摘要]最值问题是一类特殊的数学问题，是历年高考重点考查的知识点之

一.以高中数学中的一个最值问题为载体，从均值不等式、函数、数形结合三个角度阐述解决最值问题的基本策略.

[关键词]最值问题函数不等式几何

在高三复习中，学生经常为一些最值问题而头疼，掌握的情况也不够理想.本文通过对一道典型的例题的多解探析及拓展，以期培养学生思维的灵活性.

，求a+b+a2+b2的最小值.

分析：将目标函数适当转化是求解最值问题的基本策略.根据该问题的已知条件和目标函数的特点，求a+b+a2+b2的最小值有如下的方法.

方法一：将目标函数线性化，运用均值不等式求最值

将a2+b2转化为一次形式的途径有很多，这里使用不等式“a2+b2≥asinθ+bcosθ（a0，b0）”来线性化，该不等式简证如下.

证明：若asinθ+bcosθ 0，b>0）.

，解得tanθ2=13.

方法二：将目标函数齐次化，构造函数求最值

a+b+a2+b2=（a+b）2-（a2+b2）2（a+b）-a2+b2

=2aba+b-a2+b2.

得：4b+8a=ab.

将ab=4b+8a代入2aba+b-a2+b2得：

a+b+a2+b2=

8ba+161+ba

令x=ba，构造函数f（x）=

便可解决.

f（x）在（0，+∞）上有唯一的极值点x=43，且为极

图5

2. 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有多少？

3. 用5种不同的颜色给图6中标①②③④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

图6

分析：先给①号区域涂色，有5种方法，再给②号涂色，有4种方法，接着给③号涂色，有3种方法.由于④号与①、②不相邻，所以有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5×4×3×4=240种.

图7

四、辨析应用

某伞厂生产的品牌“太阳伞”伞蓬都由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞蓬八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？

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