“还学于生”,实现数学课堂的智慧转身

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：推理是数学的基本思维方式，是人们学习和生活中经常使用的思维方式，发展合情推理和演绎推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。那么，教师如何基于学生的视角去调整教材内容，还学生更为完整的推理空间，引导学生充分经历推理过程，并在不断积累推理经验的基础上去感悟规律、习得推理方法？对此，笔者以人教版二年级下册第110页中的“推理”的两次磨课教学为例，在对比中谈一些自己的教学思考。

环节一：在抽丝剥茧中突出核心经验

【第一次教学实践】

教师课件出示教材中原来准备题中的方格图（见右图）。

1.开门见山：这里有张方格图，请仔细观察，你能看出什么线索？（交流互动后，并用课件出示以下规则）

规则：在图中的方格中，每行、每列都有1～3这三个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。

2.根据现在的线索，你能推理出A是几吗？

3.说说你是怎么想的？

【第二次教学实践】

教师课前在黑板上先画好三个空白的3×3的方格图。

1.教师指着图1告诉学生：这是一个3×3的方格图，现在规定每行、每列只能写1～3这三个数，而且每个数在每行、每列只能出现一次。

（1）如果老师在这里写上1（师边在图1中补板书1，见图1-1），你觉得横看还会出现1吗？竖看还会出现1吗？

（2）如果这里再写上3（师边在表1中补板书3，见图1-1），你觉得哪个空格中的数能直接确定？

3.最后教师指着图3：如果老师在这里写上2和3（师边在图3中补板书2和3，见图3-1），你觉得哪个空格中的数能直接确定？（请上来指一指）你又是怎么想的？

（学生指着打“*”的方格认为是1都是对的）

（既要横看又要竖看――板书：横看+竖看）

【对比性反思】基于学生的视角来重新审视整个磨课过程，不难发现，这节课学生最难的不是对推理方法本身的理解，而是他们没有这种“找”的经验，也就是说既要横看，同时又要竖看，类似这样的数学活动经验对于二年级的学生来说是非常缺乏的。在第一次实践中，学生先要判断出第一行中间方格和第三列中间方格分别为2和1，然后再结合横看和竖看最终确定A为3，把既要横看又要竖看这种核心经验混迹在只要横看或只要竖看中，虽然也在有意渗透，但终究显得轻描淡写，故在第一次的整个实践中，很少有学生能自觉地去既横看又竖看，整节课就像老牛拉破车，教师生拉硬拽，学生步履维艰。而第二次实践中，教师有意将既要横看又要竖看这种核心经验从只要横看或只要竖看中剥离出来，在分层引导中强化、突出了核心经验，为学生自主发现规律、习得推理方法奠定了基础。

环节二：在经历过程中自主发现规律

【第一次教学实践】

教师课件出示教材中原来例题的方格图与规则（见右图）。

规则：在右边的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只能出现一次。

1.提出问题：请仔细观察，B应该是几？（思考几秒）

2.教师课件出示小精灵的提示话语：请你想一想，先看哪一个格子所在的行和列出现了三个不同的数，这样就能确定这个空格应填的数。

3.请按小精灵的提示，自己尝试判断B是几。

4.谁来说说B是几？你是怎么推断的？

5.小结：看来，要想知道B是几，关键是A，因为A所在的行和列已经出现了三个不同的数，然后才能推断出B。

6.你能填出其他方格里的数吗？

【第二次教学实践】

教师投影出示改编后的例2，方格图中有意去掉了A和B的提示。

规则：在右边的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只能出现一次。

（改编后的例2即为学生练习纸上的第一个方格图）

1.这是一个4×4的方格图，边上也有同样的规定，请自由地读一读。

2.现在信息变多了，观察一下，你感觉哪个空格中的数能直接确定？谁上来指一指？（学生上来指，教师在相应的空格中打上*）

3.第一次尝试：这个空格中的数到底能不能直接确定呢？请在练习纸的第一个方格图中自己推断一下，注意只推断这个空格。

（1）学生自主推断。

（2）集体交流。（这个环节可以引导生生互动）

①你觉得能直接确定吗？请上来推断给大家看看。

②有没有不同意见？谁上来说说你又是怎么想的？

4.第二次尝试：看来，这个空格中的数不能直接确定，请把空格中的数擦掉，继续观察，现在你觉得哪个空格中的数能直接确定？（学生上来指，教师在相应的空格中打上*）

5.那这个空格中的数到底能不能直接确定呢？请在练习纸的第一个方格图中再来试一试。 （1）学生自主推断。

（2）集体交流：你觉得能直接确定吗？谁想上来推断给大家看看？

6.第三次尝试：看来，这个空格中的数也不能直接确定，请把这个空格中的数也擦掉，刚才尝试两次，都失败了，那该怎么办？（生：调整方向，继续寻找）

7.现在你感觉到这个空格能随便找吗？（不能）请再仔细观察一下，你觉得哪个空格中的数能直接确定的可能性比较大？（学生上来指，教师在相应的空格中打上*）

8.那这个空格中的数到底能不能直接确定呢？请在练习纸的第一个方格图中再来试一试。

（1）学生自主尝试。

（2）集体交流：你觉得能直接确定吗？谁上来再推断一下？

（3）他认为这个打*的空格应该填4（见右图），谁听懂了？再上来说说推断的过程。

9.看来，这个打*的空格中的数的确能直接确定，现在方格图中已多了一个4，你觉得哪个空格中的数一眼就能看出是几？（生答，师在练习纸的第一个方格图中的第一列补写2）怎么推断的？请在练习纸的第一个方格图中的第一列照样子先写上4和2。

（1）集体交流：你觉得剩下的哪个空格又能直接确定？（生上来继续在教师的纸上指着第三列第二行这个打*的空格，并认为可填1）怎么想的？然后哪个方格中的数也能一眼就能看出是几？（生指着第二列第二行这个方格，认为可填3，如左下图）

（2）接下来能最先确定的又是哪个空格呢？怎么想的？（如右上图，学生只要指着第一行或第四行两个4的方格，并认为应填4都是对的）

（3）剩下的由学生边交流推断结果边检验，直到全部完成。

（4）矫正：如果你在自己的练习纸上推断有误，请重新推断并改正。

11.发现规律：现在你发现规律了吗？在什么样的情况下，这个空格中的数能直接确定？（生：从这个空格出发，横看竖看合起来出现三个不同的数时，这个空格中的数就能确定）

【对比性反思】所谓推理就是当事人根据一个或几个已知的判断（或信息）来确定一个新的判断的思维过程。可见，真正的推理是根据已有的信息“我”可以先推断出什么，然后再根据新推断的结论“我”又可以推断出什么，而不是由外界告诉你应该先推断什么，再推断什么。因此，在第二次实践中，教师着力引导学生仔细观察信息，根据已有的信息大胆猜测哪个空格中的数可以直接确定，在两次验证失败后，不急不躁，鼓励学生继续观察，调整方向，并确定新的空格进行再尝试，在经历多次失败、分析原因和最终获得成功判断的经验对比与累积中，学生自己发现“横看竖看合起来出现三个不同的数时，这个空格中的数就能直接确定”这一规律就显得不那么困难，可谓水到渠成，理解深刻。而第一次实践中，当教师提出“B是几”这个问题后，课件直接出示了小精灵关于推理方法的提示，学生在根据原例题方格图中的A和小精灵的话这两个双重提示下按部就班地先判断出A是几，再判断B是几，这样的教学过程教师明显剥夺了学生经历观察、猜测、操作、验证等完整的推理过程，更少了学生反复猜测、验证、感悟的过程。因此，这样的教学过程充其量是教师提供推理方法，学生只需依葫芦画瓢，而不是学生在反复经历完整的推理过程中自己悟得规律、习得方法。可见，第二次实践的优越性不言而喻。

环节三：在内化方法中提升推理能力

【第一次教学实践】

师课件出示教材中原来习题的方格图。

1.根据题意，你能推断出B是几吗？（学生尝试，教师巡视）

2.反馈交流：这位同学认为B是3有道理吗？不过他没有指出线索，你知道线索在哪吗？关键是什么？A是几？

3.引导：写了A还是不行嘛，B所在的行和列还是不能填出来啊，你猜猜他是怎么一步步推断出B是3的。

4.小结：我们在推理的时候得重点关注哪一个格子所在的行和列已经出现了三个不同的数，然后再逐步推断出其余空格中的数。

【第二次教学实践】

师出示改编后的书本习题，方格图中有意去掉了A的提示。

1.老师这里还有一个方格图，观察一下，这里的B能直接确定吗？（不能）那该怎么办？（生：看看边上哪些空格中的数能直接确定，然后再来推断出B）

2.下面请猜测哪个空格中的数能直接确定，然后再来推断出B，行吗？

3.集体交流。（巡视时找典型材料：直接的；间接的――第四行两个空格）

（1）先反馈直接的：这位同学认为这个空格（指第二行第二列这个方格）能直接确定为4，然后就能推断出B是3，请他说说具体是怎么推断的？

（2）再反馈间接的（如下图）：这位同学认为这个空格中的数（指第二列第四行这个方格）也能直接确定为1，谁来推断一下？好，这个空格的确能直接确定为1，但这个1确定后对推断B有没有直接的帮助？（生：没有）（如果有学生说第四列第四行这个方格为3，处理方式同前者一样）

4.师：同学们，如果我们一不小心确定的空格不能直接推导出B，那该怎么办？

生：我们可以调整方向，分析一下其他新确定的空格能否直接推导出B。

5.引导辩证看问题：虽然刚才两位同学指出的1或3这两个空格不能直接推导出B，但是这两个空格对填写整个方格图还是非常重要的。

【对比性反思】这个环节的目标其实还是进一步引导学生根据已有的信息学会先判断哪个空格中的数能直接确定，然后观察、分析前面的结论对推断B能否起到直接的作用。假如初次尝试失败，还可调整方向，继续观察分析，寻找新的可以直接确定的空格，直到能顺利推断出B。而这恰恰符合推理的一般过程，而不是像教材上那样先给定一个A，让学生去验证那个A确定后能否直接确定B，然后再引导调整。因为，真正的推理不是有人告诉你应该怎么推理，而是个体根据已有的信息不断地猜测、尝试、验证，且自觉调整。显然，第一次实践中，教师提供的习题还是带有太明显的暗示，尤其是那个A，其实质还是在外界的指引下学生机械地完成推理，而第二次实践中，教师有意把A去掉，再次给学生提供完整经历推理全过程的机会，很好地巩固和内化了推理的方法，有效地提升了学生的推理能力。 【思考】

教学中，教师切不可剥夺学生这种自学、自悟的过程，而应该为学生创设这种自我发现、自主构建知识的平台；教师不可把规律或方法直接给予学生，而是要立足学生的视角看教材、看课堂，才能真正把学会推理的过程还给学生。

1.基于学生的视角“定”学习难点

在日常教学中，很多教师凭借着多年的教学经验或者自身对某课时内容的一种直觉，主观、武断地去确定该课时的学习难点，导致课堂上学生的思维和教师的思维无法形成共振，使课堂教学节奏拖沓、层次凌乱、推进生硬、高耗低效。这样的课堂一定是“教”味十足的课堂，而不是“学”味十足的课堂。因此，教师可以通过前期的磨课或前测或访谈，然后平心静气地站在学生的角度来考量学习难点，客观、理性、准确地确定学生学习中将会碰到的真正难点，这样的课堂才是符合学生学习需求的课堂，才会是师生、生生智慧交融的课堂。

2.基于数学的本质“设”教学路径

教师在设计教学路径时，通常会依据学生的思维轨迹来展开设计，也就是说，从学生面对这样的学习内容他们会怎么想、怎么学来入手；另外是基于数学本身的内涵来展开教学设计。而本节课所涉及的推理其数学本质就是指人们根据一个或几个已知的判断（或信息）来确定一个新的判断的思维过程，也就是说，真正的推理是纯属人们通过自身的观察、猜测、验证、判断的过程，任何外界暗示或干预下的推理都不是真正意义上的推理。通过两次不同的教学实践，笔者再次强烈地感受到，基于推理的数学本质来重新设计教学路径是明智之举，在第二次实践中，师生思维共振尤为和谐，学生明显学得有劲，教师自然教得有味。这样的课堂才是师生、生生智慧碰撞的课堂。

3.基于学力的提升“变”习题设计

教学中，习题设计的重要目标就是巩固、内化所学的数学知识，但仅仅把习题设计的目标定位为巩固知识、运用知识是远远不够的。因此，在习题设计中还必须关注学生学习能力的培养和提升。在第一次教学实践中，教师完全照搬书本上的课后习题，因为方格图中有了A的强烈暗示，使得该习题的目标只能停留在机械地模仿前面已经提供的推理方法，学生充其量只是对推理的方法又操练了一遍，而更致命的是前面给出推理方法时那些不理解的学生此时还是不太理解。但在第二次教学实践中，教师把A去掉后，这个习题又变成了一个学生继续自主探索、自我体悟方法的过程，尤其是碰到观察、猜测、验证失败后的再调整、再猜测、再验证，学生始终处于自主运用方法、感悟调整策略、理解推理内涵，提升推理能力的过程。

两次实践证明，规律的东西应该让学生自己去发现，而不是由别人告诉或外界给予。也就是说，规律本身其实不是最重要的，重要的是引导学生去经历获得规律的过程，从中自己去发现规律，悟得方法，从而在智、情、意、能等方面得以和谐、全面的发展这才是重中之重。正如北京师范大学周玉仁教授一直倡导的那样：凡是学生能自己探索发现的，决不替代；凡是学生能独立思考的，决不暗示。总之，在数学课堂上任何的暗示、给予都是不合适的，让数学学习真正发生才是硬道理！