谈“反证思想”在培养初中生数学思辨能力中的应用

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翻新时间：2023-08-06

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谈“反证思想”在培养初中生数学思辨能力中的应用

对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，“反证法”就是一种间接证法。在初中数学教学中，可以借用“反证法”培养学生的发散思维，拓宽学生思维的广度。还可将“反证法”拓展开去，用“反证思想”分析和解决问题，使之与正向思维共同作用，以提高学生的数学思辨能力。

一、“反证法”在初中教材中的解读

“反证法”在初中数学教材中，虽然并不是作为基本技能要求学生掌握，但处处有所渗透，并逐步提高要求。如苏科版七年级下册第7章“平面图形的认识（二）”中，课本编写“读一读” ――怎样证实“两直线平行，同位角相等”，运用了反证法。这里已经逐步揭示反证法的基本思路：“反设→归谬→存真”。

八年级下册第九章中，提出了一个用“反证法”解决的简单问题，并对反证法给出了明确的定义：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立。让学生了解了反证法的基本步骤、体会反证法在解决问题中的作用。

由此看来，考虑到学生的年龄特征，对于“反证法”，在初中教材中的安排是谨慎而又循序渐进的，它是对提高学生逻辑推理能力、数学思辨能力的一个补充，在思维方式上给学生以新的思路和启发。

二、“反证思想”渗透教学，培养学生数学思辨能力

数学思辨能力，即数学思考辨析问题的能力，包括分析、推理、判断、解决问题。良好的思辨能力体现在对问题的分析和结论进行层次分明、条理清晰的解释和论证，具有较强的逻辑性。而“反证思想”是“反证法”中蕴含的逆向思维方式在问题解决中的应用。借用“反证思想”还能帮助学生能够在千变万化的数学问题，突破传统单一的解题思路，创新解决新方法，进一步深化对知识本质的理解。

（一）从简单问题入手，使学生了解“反证法”的基本思路和一般步骤

初中数学知识中包含很多定理、定义等，一些定理或者初始命题难以发现直接证明的论据。从简单问题入手，使“反证法”为学生提供新的解题思路。让学生了解它的基本思路和一般步骤，从而能触类旁通、灵活地解决问题。

例1：求证：在一个三角形中最多有一个钝角。

第一步，反设――假设问题的反面成立。假设一个三角形中有两个（或三个）钝角。

第二步，归谬――从假设出发得出与已知条件、定义、定理或基本事实相矛盾的结果。那么这两个（或三个）钝角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾，

第三步，存真――推翻假设，说明假设不成立，原命题成立。所以假设不成立，所以“一个三角形中最多有一个钝角”。

（二）巧用“反证思想”解决问题，培养思维的灵活性和严谨性

“反证思想”是利用“反证法”的基本解题思路，解决一些诸如判断性问题、存在性问题、重合性问题等比较难以下手的问题。