把散落的“珍珠”串成美丽的“项链”

【摘 要】正方形集中了矩形菱形的所有性质，而两个完全相同的正方形叠合在一起旋转，不仅会产生叠加的结论，还能把正方形的性质、三角形全等、相似以及重叠部分面积、函数等核心知识串起来，既体现问题的基础性也彰显问题的综合性，这样的专题复习课更有利于学生数学思维能力的发展。

【关键词】正方形;旋转;核心知识;专题复习

【主题概述】

通过本课的学习，学生能够进一步体悟解决双正方形旋转问题的核心知识点是旋转的性质、正方形的性质、三角形全等与相似。同时，还要让学生通过双正方形的旋转领悟旋转过程中的变与不变，变就有可能存在函数关系，不变就可能存在相等（定值）、全等或相似关系，这就是双正方形旋转问题展现给学生的数学本质的魅力，也是数学所特有的哲学价值。

解决旋转问题的基本策略是“化静为动，以静制动”。所谓“化静为动”，即要搞清楚整个旋转过程中哪些元素（如边、角）发生了变化，哪些元素仍然没变，有时还要通过特殊位置图形的特征来判断不变的元素。所谓“以静制动”，即要把旋转过程中的各种图形的位置情况作为静止的图形进行研究，接下来的计算与证明和原先步骤一致，只不过赋予了旋转的背景而已。如果学生能够破译旋转背后的“密码”，那么以旋转为背景的几何问题就迎刃而解了。

【课堂教学实录】

一、激活

师：熟悉正方形吗？谁来说说对它的认识。

生1：正方形四个角都是直角，四条边相等且对边平行，对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

生2：正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。

师：很好。是的，正方形集中了矩形和菱形的所有性质。那么，如果两个完全相同的正方形叠合在一起旋转，会产生哪些叠加的结论呢？这就是我们今天要研究的课题“旋转所钟情的双正方形”。大家是否留意今天老师发给大家的作业单上的例题和你们平时见到的例题有什么不同呢？

生众：只有条件，没有问题。

师：那问题（结论）让大家来猜想如何？有没有信心自己来编题？

生众：有（声音响亮）。

【设计意图】激活的意义在于激活情感，激活旧知，激活思维。纽带是激活情感，基础是激活旧知，根本是激活思维。对正方形性质的回顾与熟悉，是解决以旋转为背景的双正方形问题的核心知识点之一。

二、生长

教师打开几何画板课件。

例题1：如图1所示，把正方形ABCD绕着点A按顺时针方向旋转α（0°≤α≤90°）得到正方形AEFG，FG与BC交于点H。

师：一般我们可以从哪几个方面来提问题（猜想）呢？

生3：线段、角、面积。

师：那我们就先从简单的线段、角等方面来猜想问题（结论）。

生4：可以猜想GH=HB，HF=HC。

师：谁来证明生4的猜想？李老师，你到上面来和同学们讲（教师请举手的“李”姓学生上屏幕前来讲，学生们发出会心的笑声）。

生5：连接AH，……只需证明△AGH≌△ABH即可。

师：老师也来提个问题，若AD=3，∠DAG=30°，你能求出阴影部分的面积吗？大家先试试看。

教师巡视，发现部分学生设法把阴影部分面积割成矩形、直角三角形或直角梯形来做，但找不到突破口（请一“王”姓学生到屏幕前讲解）。

生6：阴影部分的面积等于正方形面积减去四边形GABH的面积，而四边形GABH的面积等于△ABH的面积的2倍。根据刚才证明的△AGH≌△ABH，故∠GAH=∠BAH=30°，利用解直角三角形的知识求得S△AGH=S△ABH=，因而阴影部分的面积为9-3。

师：非常好。同学们，王老师此题的解决过程给你们什么启发？

生7：解题时要懂得以退为进。当面积“割”不行时，我们要想到面积的“补”。

师：“割”时“山重水复疑无路”，“补”时“柳暗花明又一村”。请同学来小结一下，解决此题的核心知识是什么？

生8：正方形的性质，全等三角形的判定，面积的割补。

……

【设计意图】“教学即生长”。这个题目的设计基于三点考虑，一是引导学生通过观察图形尝试提出一些简单的问题，激发他们会猜想、敢提问、能提问的积极性;二是“起点低”，让基础一般的学生也能够通过全等三角形来证明简单的问题（如线段相等）;三是通过教师提问，让问题有一定的挑战性，逐级递进，不断“生长”，符合学生的认知特点。

三、启智

例题2：如图2所示，正方形ABCD与OEFG都是边长为4的正方形，其中点O为正方形ABCD的对角线AC的中点，正方形OEFG绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤90°）。

师：在旋转的过程中，试猜想图2中有哪些结论？

生9：CM=BN，BM=AN，OM=ON，MG=NE。

生10：两个正方形重叠部分的面积是定值。

师：这位同学有“火眼金睛”哦。说说你是怎样来猜想的？

生10：只要把正方形GOEF绕O点逆时针旋转，使得M与C重合，则重叠部分面积等于△BOC的面积。（教师运用几何画板的旋转功能进行演示） 师（竖起大拇指）：从特殊位置入手来猜想，真牛！

师：下面先请赵老师来说怎么来证明生9的猜想（教师点名举手的“赵”姓学生到屏幕前讲解）。

生11：连接OC、OB，构造全等三角形，……证明△COM≌△BON。

师：两个正方形重叠部分的面积是定值，能求吗？请张老师来说。（教师点名举手的“张”姓学生到屏幕前讲解）

生12：还是要用到刚才的全等三角形。由△COM≌△BON可知S阴影=S△BON+S△BOM=S△COM+S△BOM=S△BOC=S正方形ABCD=4。

师：老师也想提个有挑战性的问题，设CM=x，△MON的面积为y，试写出y与x的函数关系式。（教师问学生是否有信心，学生大声回答有。）……请陈老师来说。（5分钟后，教师点名举手的“陈”姓学生到屏幕前讲解）

师：很不错。同学们，此题的解答过程又给你们什么启发？

生14：虽然图形在变化，但解决问题的关键还是全等三角形与面积割补。

师：真不错。“是他，是他，还是他”。（歌词惹笑了学生）能否直接求S△MON？请同学们课后思考。

例题3：如图3所示，正方形ABCD与EFGH都是边长为4的正方形，点G在BD上，且=，正方形EFGH绕点G顺时针旋转过程中，GF交AB于点N，GH交AD于点M。

师（利用画板旋转功能演示）：如果把正方形HEFG绕G点逆时针旋转，使得HG⊥DA（即M与O重合，N点与P重合的特殊位置，画板即时显示OG与GP），请同学们观察图形后提出自己的猜想。

生15：GM与GN的比值等于（即OG与GP的比值为）。

生16：重叠部分（即矩形OGPA）的面积等于3。

师：怎么证明这两个猜想？请钱老师来讲（教师点名举手的“钱”姓学生来屏幕前讲）

生17：只要证明两个等腰直角△DOG与△GPB相似即可……

师：如果再旋转到一般情况，原来的结论还成立吗？（利用画板旋转功能演示原先的一般位置，显示的是M、N两点，O、P两点自动隐去）

有学生说成立，有学生说不成立，也有学生无法确定。

师：我们不妨先来研究GM与GN的比值是否等于？请孙老师来讲（教师点名举手的“孙”姓学生来屏幕前讲）

生18：还是要作出刚才的矩形OGPA，已经证明两个等腰直角△DOG与△GPB相似，只要再证明△GOM∽△GPN，从而转化为求刚才的矩形两边之比为。

师：重叠部分（即四边形MGNA）的面积会是定值3吗？

生19：不会，因为△GOM和△GPN只会相似，不会全等，所以，通过面积割补没法拼成原来的矩形面积。

师：非常好。那如果设BN=x，重叠部分（即四边形MGNA）的面积为y，你能求出y与x的函数关系式吗？请大家先动手试试看。

师：请刘老师来讲。（教师点名举手的“刘”姓学生来屏幕前讲）

师：真厉害。还可以怎样分割？

生21：连接AG，把重叠部分面积分割成两个三角形面积，同样可以求出……

师：真好！那请你再来说说，解决此题的核心知识是什么？

生21：相似三角形的判定和面积的割补。

【设计意图】启智即启发学生智慧。数学教学是基于活动的教学，在数学探究活动过程中，要注重让学生“感受过程，习得规律，启发智慧”。核心知识从全等过渡到相似，数学思想从特殊到一般，学生不断经历认知冲突，不断迸发智慧火花。

四、生慧

师：请同学们来谈谈，通过本课的学习，你们有哪些收获和体会？

生22：在旋转过程中，常常会用到全等相似的知识。图形变化，但方法不变。（教师板书：全等相似）

生23：对于面积问题，不仅要会“割”，也要学会“补”，解题中要“以退为进”。（教师板书：以退为进）

生24：旋转问题要多从特殊和一般两个方面去思考，去转化。（教师板书：转化）

师：总结得太精彩了！Wonderful！同学们已经把老师想说的话都说完了（学生笑）。我尝试把同学们的总结串起来编成一首诗。“旋转全等相似，割补可解谜盘;困时以退为进，特殊转化一般。”（掌声）两个完全相同的正方形叠合在一起旋转，果然产生了叠加的美丽结论，这就解释了今天的学习主题“旋转所钟情的双正方形”的魅力所在。课后请同学们思考，如果把两个正方形的旋转换成两个矩形的旋转，又会有什么结论？

课后拓展：如图4所示，将两张互相重合的正方形纸片ABCD和EFGH的中心O用图钉固定住，保持正方形ABCD不动，逆时针旋转正方形EFGH。

（1）试给出旋转角度小于90°时的一些猜想：①ME=MA;②两张正方形纸片的重叠部分的面积为定值;③∠MON保持45°不变。

请你对这三个猜想作出判断（正确的打上“√”，错误的打上“×”）。

（2）可以发现：（1）中的△EMN的面积S随着旋转角度∠DOE的变化而变化。请你指出在怎样的位置时△EMN的面积S取得最大值。（不必证明） （3）上面的三个猜想中若有正确的，请选择其中的一个给予证明;若都是错误的，请选择其一说明理由。

【设计意图】“生慧即生成”。课后拓展的目的就是为了打破学生惯用全等的思维定势，让学生明白，研究数学问题既要基于定势又不能囿于定势思维，要能够以退为进，灵活运用。生慧这一环节也是数学知识的反馈巩固过程，生成新的探究问题的过程，生成数学方法与思想的过程，生成学生智慧的过程。

【课堂感悟】

本节课是初三专题复习课，针对不同学习层次的学生展开教学过程的设计，体现“起点低（注重基础，下要保底），步子紧（小步子式逐步提高要求），落点高（上不封顶）”的设计要求，利用几何画板的动画功能演绎旋转过程中的变与不变。

本节课共设计了4道例题，足够供学生课内外的训练和思考了。每道例题的设计都是安排两个完全相同的正方形旋转，这样做的目的一方面因其旋转要素已经涵盖了图形旋转的类型和特征，另一方面是因为正方形是四边形中最特殊的四边形，它集中了矩形和菱形的所有性质，两个完全相同的正方形通过旋转会产生性质叠加，不仅结论会更加丰富多彩，而且解决问题的方法也是多样化的，从而使得旋转变换更具魅力。

每道例题的内部都以问题串的形式出现，而4道例题本身，前一题都是后一题的基础与铺垫，后一题都是前一题的提升和拓展，我中有你，你中有我，这就构成了“套题（题组）”式训练方式。复习课如果坚持这样去做，学生才能真正“聪明”起来，才能真正达到“以少胜多”的最大功效，才能让散落的“珍珠”（零散的知识点）串成美丽的“项链”（内化的知识结构和学生内生的智慧）。可见，教师组织教学内容要突出其与其他的数学知识和方法间的纵向与横向联系。一个数学知识与其他数学知识的联系越多，说明该知识越重要，它的拓展性就越强。

值得课后进一步思考的问题有：如果把4道例题放在直角坐标系的背景中，知识的综合程度就更高，但不宜作为第一轮复习的要求。如果把其中一个正方形缩小一半，题目的结论会有怎样的变化？如果把其中一个正方形换成矩形情况又该如何？如果两个正方形都换成矩形又该是怎样的结果？如果把两个正方形都换成正六边形结果又该如何呢？等等。在这类问题的教学中一定要以数学知识为载体，切忌“空对空”，要多让学生去想，去悟，这样才能取得理想的效果。