试论“高等数学”教学中数学思维与创新能力的培养

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论文关键词:高等数学 数学思维 创新能力

论文摘要:“高等数学”是高等院校理工科专业的重要基础课程,其教学的核心在于培养学生的数学思维方法和创新能力。针对当前存在的主要问题,探讨了如何在高等数学教学中突出数学思想方法的教学,如何培养学生的数学思维能力和创新能力,从而为素质教育的实施提供理论参考。

数学是学习和研究现代科学技术、进行创新工作必不可少的工具和理论基础。马克思说过:“一种科学只有在成功地运用数学时,才算真正达到完善的地步。”“高等数学”是高等教育中的一门重要基础理论课,对学生素质的培养起着重要作用。“高等数学”所传播的基本概念与方法、蕴涵的数学思想以及由数学思想培养起来的思维能力和素养,将会使学生终生受益。

一、当前“高等数学”教学中存在的主要问题

当前的高等数学教材基本上是一个严格的演绎体系,表现为由“概念—公式(定理)—范例”组成的纯数学系统,看不到思维过程。教师的教学模式单一,在教学中往往重视知识的结论、轻视知识的探索过程。教师的教学方法和手段落后,在教学中向学生灌输大量的定义、定理、证明、计算,对数学思想方法和创新能力的培养缺乏应有的认识,忽视了对学生的应用能力的培养。这种教学使学生产生很强的依赖心理,极大地妨碍了学生独立思考和创新能力的培养和发展。

二、“高等数学”教学中数学思维能力的培养

数学中蕴含着丰富的思维方法,在“高等数学”课程的教学中,特别要注重培养学生的直觉思维能力、求同思维能力、反思维定势的思维能力、形象思维能力以及立体思维能力。[1]

在教学中,教师应引导学生在已有知识的基础上,通过想象、猜测,对某些复杂的疑难问题进行探索,利用基础知识和基本方法进行创造性联想。例如在“高等数学”教学中通过采用几何猜测、物理模拟的方法猜想一些定理、公式及证明,培养学生的直觉思维能力。教师还可以精选一些典型的多解法例题,通过对比讲解,培养学生的求同思维能力。例如隐函数的求导、重积分的计算以及求立体的体积等,均有多种不同的解法。

培养学生反思维定势的思维能力,主要指质疑思维、逆向思维、发散思维和求异思维等。数学教学可以通过是非判断和列举反例的练习发展学生的质疑思维,而培养学生的逆向思维能力则通过对数学问题的正反思考的练习来实现,以反证法、反例法等形式展开。同时,教师要教会学生要善于挖掘题目中的隐藏条件,通过类比的方法以及几何问题代数化、代数问题几何化等多方位的训练,培养学生的发散思维能力。教师在教学中还要加强对学生思维的灵活性训练,使学生在思考时能从不同的角度看问题,善于发现新关系、提出新见解,培养学生的求异思维能力。例如在讲解多元函数的极限、连续、偏导数与可微分之间的关系时,就要注意引导学生考虑向各个方向互为推证或互相否定。

数学教学中运用形象思维可以帮助学生更好地理解数学知识。例如在讲授极限、连续、导数等基本概念时,通过分析其几何特征的直观形象思维使学生对这些概念有更加深刻的理解。再如微分中值定理的提出与几何证明等,利用形象思维既抓住了几个中值定理的联系,又找到了证明的方法。在教学中,教师还应注重培养学生的立体思维能力,以知识、经验积累为基础,将概念、法则、结论连成一个整体,利用事物之间的相似性,将不同分支或不同学科的知识与方法交叉起来。

三、突出数学思想方法的教学

数学知识和数学思想方法是数学创新能力的基础和源泉,高等数学中包含着许多重要的数学思想,它们蕴涵于大量的概念、定理和解题过程之中。教师可以在教学中展示数学思想以及数学知识产生和发展的思维过程,介绍概念产生的历史背景,通过对数学知识的产生、发展、应用过程的揭示,将其中丰富多彩的数学思想方法抽象概括出来,利用数学家思维过程中所特有的示范性和启迪性,强化学生对知识创新过程的认识。例如高等数学中的辩证法思想在直与曲、常量与变量、均匀与非均匀、有限与无限的矛盾转化中的运用。再如在极限概念的教学中,可以从古代数学中极限的早期形式“割圆术”与“穷竭法”,到近代数学中极限的描述定义与分析定义的形成过程中展现极限思想方法与概念形成的曲折过程,然后在一元函数极限概念、导数概念以及定积分概念及其应用的教学中,逐步形成和深化极限思想等。

微积分的发展,往往是先从解决某些具体的问题入手,然后归纳出一般的结论与方法。在教学中从学生熟悉的知识出发,归纳概括出抽象的概念、结论及方法,培养他们分析问题、归纳问题和进行抽象思维的能力,有助于创新思维的形成。例如可以从曲线的切线斜率、变速直线运动的速度以及电流强度等不同的实例中抽象出导数的概念。再如在讲二重积分的概念时,先介绍曲顶柱体的体积和平面薄片的质量等实例,然后经过数学抽象,归纳出一个思想方法:“分割、近似、求和、取极限”,从而提炼出“以直代曲、以常代变”的数学思想,引出二重积分的定义。[2]

四、“高等数学”教学中创新能力的培养

1.创新教育理念

对学生进行创新能力教育与训练,关键是要由教师的素质教育理念来支持,教师需要领会和理解创新教育,并在教学过程中融会贯通。“高等数学”中包含了丰富的史料知识,教师可以发掘知识中的精神、思想、方法,激发学生的理论创新意识,培养学生严谨的学习和工作作风,使学生在意志、品质、世界观等方面得到全面提升以及在学习数学思想的过程中体验到追求真理的创新精神。

2.营造创新氛围

在课堂教学中营造创造性思维的情景是激发学生创新意识发展的必要条件。在教学内容的选择上,应设计启发学生创造性的问题,突出具有研究性的概念、原理与技能的内容。高等数学中的很多问题都可以启迪学生的创新思维,比如构造辅助函数、用凑微分法对不定积分进行计算、用补线或补面的方法计算第二类曲线积分或曲面积分、正项级数的比较判别法、用函数项级数求常数项级数的和等,都体现了这个特点。

在教学中,教师应注重数学的本质,选择有利于创新思想发展的教学方法和手段,向学生介绍数学思想中的由特殊到一般、由线性到非线性再由非线性转化为线性的思想,突出单元整体特征的分析与讲授,帮助学生进行总结和提炼,把对个别问题的讲解转化为专题讨论式讲解,引导学生从广度、深度上考虑问题,扩大学生的思维空间。启发式教学应该是形成创新必不可少的因素。例如讲积分时,可以将定积分、重积分、曲线积分和曲面积分联系起来,将其作为一个整体进行比较分析,启发学生思考相关的问题。

在“高等数学”教学效果的评估和考核中也应该渗透创新教育的思想。教师在教学中可以提出以专题为单元的训练与考核方式,布置、设计一些具有一定深度和创造性的练习,培养学生创新精神与创新思维能力,如对某一实际问题的数学建模与上机实验,对某一专题的思考与研究报告等。在测试中控制知识与能力的测试比例,加强分析解决实际问题能力的测试,使练习测试与创新教育相融合。

3.数学建模能力的培养

在数学教学中要培养学生如何从实际问题中提炼出数学问题以及如何用数学来解决实际问题的能力。数学建模就是用数学解决实际问题的过程,它对复杂的实际问题通过合理假设、抽象,然后用数学语言、数学方法来近似表达,数学建模过程中充分伴随着创新思维。当一个问题给出数学模型后,就要利用一定的技术手段求解,并且针对实际情形进行检验,若结果不理想,还要修改模型,以期达到理想的结果,其中的创造性活动是不言而喻的。[3]

在“高等数学”教学中,一方面,应当重视数学概念背景模型的引入,让学生从模型中切实感受到数学概念的作用,根据教学内容的特点渗透数学建模的思想,提高学生数学建模的意识。另一方面,体现在对数学建模能力的强化上,包括理解能力、抽象分析问题的能力以及运用数学方法与计算机求解数学模型的能力。教师可以从“高等数学”的应用角度,结合教学选择和设计一些具有一定难度的综合问题,指导学生建立数学模型,强化学生应用数学知识解决实际问题的创新意识,培养学生团结协作的研究精神。例如微积分在力学、场论中的应用等。在讲微分方程时,可以介绍“抵押贷款买房”,“人口增长”等数学模型,由“人口增长”模型中的逻辑斯谛模型可以推广到再生资源数量、传染病的传播、新产品的推销等问题的应用中。

五、结语

在“高等数学”教学中培养学生的数学思维与创新能力是一项系统工程,它既是教学的深层目的,又是一个长期的过程,需要数学教育工作者不断探索实践,共同探讨大学数学教学的改革方案,交流教学形式和教学方法,促进以创新教育为核心的素质教育的实施和创新人才培养工作的开展,为我国培养出更多更好的创新人才。

参考文献: [2]同济大学数学系.高等数学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[3]陈国华.数学建模与素质教育[J].数学的实践与认识,2003,33

(2):110-113.