谈曲线积分与曲面积分的运算

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翻新时间：2013-12-18

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谈曲线积分与曲面积分的运算

数学毕业论文怎么写，小编为你提供一篇关于谈曲线积分与曲面积分的运算的毕业论文作为您的参考，希望您喜欢！

在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算.有时这种方法较困难,且不易计算.下面笔者根据自己多年的经验,提出了一些关于曲线与曲面积分的运算方法,希望能够起到抛砖引玉的效果。

一、曲面积分的运算

(一)利用轮换对称性简化第二类曲面积分运算

第二类曲面积分也有类似于重积分的轮换对称性。这里的轮换是指:

1.被积表达式满足轮换对称性,即将补积表达式中的所有字母按轮换次序x→y→z→x代换后,积分不变;

2.积分曲面及其指定侧也具有轮换对称性,这是指在各坐标面上的投影区域相同,且配给的符号也相同。

若满足上述轮换对称性,

则

上述轮换对称性通俗的说就是被积表达式的变量互换位置,被积式不变;且区域边界方程中的变量互换位置,区域也不变,从而互换后积分值当然也不变。

例1:计算其中Σ是平面x=0,y=0,x+y+z=1所围的空间区域的整个边界面的外侧。

解:因变量按次序x→y→z→x轮换时被积表达式不变,且积分曲面在各坐标面上的投影区域相同,配给的符号也相同,故积分曲面及其指定侧亦具有轮换对称性,所以积分具有轮换对称性。

因Σ2,Σ3垂直于面xoy,故

又因在Σ1上有z=0,

于是

从此例观察,先用轮换对称性简化积分后,再采用其它方法来计算此类积分,可使计算量大大降低。可见,用轮换对称性来计算某些满足该条件的第二类曲面积分,是一种切实可行的计算方法。

(二)高斯公式法

定理(高斯公式):设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲线S围成,若函数

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V上连续,且有一阶连续偏导数,则:

(1)

其中S取外侧。(1)式成为高斯公式。高斯公式也可以表示成:

(2)

其中(cosα,cosβ,cosγ)是S外法线的单位向量。

应用高斯公式时,应注意条件:①S必须是封闭曲面,若所讨论的曲面不是封闭曲面,应当适当补上某块曲面,使它成为封闭曲面;②P、Q、R在V上连续且偏导数也连续,若它们及其偏导数在某点不连续,应当利用“挖去奇点”的技巧,在余下的区域内应用高斯公式。

由高斯公式知:

2Л,

而,

故。I=2Л-3Л=-Л

二、曲线积分的运算

利用Green公式求解

定理(Green公式),设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则:

,其中L是D的取正向的边界曲线。

利用Green公式可以把曲线积分转化为二重积分。

例3:已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤п,0≤y≤Л},L为D的正向边界。试证:

(1)

(2)

解:(1)根据格林公式,得:

因为D具有轮换对称性,所以:

故:

(2)由(1)知:

(利用轮换对称性)

= 思想汇报

s Ne�mn�_a Tbsi-font-family: "Times New Roman"'>之后又让学生带来了各种不同的东西,叫学生扮演。“商场小经理”把各种物品按自己的想法进行归类。这样,使学生在实践中得到了锻炼,把数学真正融入到现实生活,多让孩子动手。小学生以形象思维为主,逐步向抽象思维过渡。把不好操作的转为好操作的,这样更符合孩子的认知规律。老师可和孩子一起做数学游戏,通过有目的的游戏促进孩子在数学认知、空间理解、想象力等方面的发展。例题:有两堆石子,如果从第一堆中取5粒石子放到第二堆中,则两堆的石子数相等,由这个条件你能得出关于这两堆石子的什么判断?这道题显然是开放性的题目,可以让同学们充分发挥想象力。

总之,兴趣是推动孩子学习的一种最实际的内生动力,在孩子进入一年级,进入数学的殿堂时,老师和家长应该注重培养孩子对数学的兴趣及自信心的培养,以引领孩子自觉、主动地去学习,并激励孩子长期坚持地学习。