以正方形为载体的中考试题赏析

正方形是初中的重要知识内容，纵观2008年全国各地中考试题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.现拮取几例加以赏析：

1 与拼图相结合,注重考察学生的观察能力.

例1 (湖南湘潭市)如图1，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中 ∠AOB= .

例2 (湖北荆门市)用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图3所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x，y表示矩形的长和宽(x＞y)，则下列关系式中不正确的是( )

2 与多边形、圆相结合,注重考察学生对几何性质的综合运用.

三者的平方关系.可利用梯形的高来建立桥梁

作用.如图5，分别过点

A、B做AE⊥DC,BF⊥DC,

垂足分别为E、F.设

梯形ABCD的高为h ,

例4 (江苏南通市)在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图6所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图7所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）

（1）请说明方案一不可行的理由；

（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．

(2)设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的母线长为R，则 ①, ②,由①②，可解得 ， ． 故所求圆锥的母线长为 cm，底面圆的半径为 cm．

点评 将正方形与多边形、圆结合是中考中出现频率较高的题目。此类题目涉及知识点较多，跨度较大，需要学生具有较为扎实的基本功，具有综合运用相关数学知识的能力。

3 与“动点问题”相结合,注重考察学生对不变因素的探究能力.

例5 (湖北武汉市)正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图8，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．

(1)如图9，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E.

①求证：DF＝EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

(2)若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图10并判断(1)中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

解析 (1) ①如图11过点P做PH⊥BC,垂足为点H,连接PD.此时四边形PFCH为正方形.容易证出△APB≌△APD,推得 ∠BPC=∠DPC，进一步可得∠BPH =∠DPF；由∠BPH +∠HPE =90°,∠EPF + ∠HPE=90°，得∠BPH =∠EPF.因为PE⊥DC,可证得DF=FE.

②由EF+CE= PC得:DF=EF= PC－EC.因为PF∥AD,有 ,将DF= PC－EC代入得: PC=PA+ CE.

(2)连接PB、PD,做PF⊥DC, PH⊥BC,垂足分别为F、H,在DC延长线上取一点E,使得PE⊥PB.此时有结论①DF=EF成立.而结论②不成立, PC、PA、EC存在PA=PC+ EC关系.证明与②类似,略.

点评 动点问题是中考热点问题之一，它要求学生善于抓住运动变化的规律性和不变因素，把握运动与静止的辨证关系.例5中,无论动点P在线段AC上如何运动, ∠BP

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4 与对称、旋转相结合,注重考察学生变换的思想.

例7 （黑龙江齐齐哈尔市） 已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图14），易证BM+DN=MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图15），线段BM,ND和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图16的位置时，线段BM,ND和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

解析 (1)如图17，把△AND绕点A顺时针90°，得到△ABE，则有DN=BE,∠EAM= ∠MAN=45°.进而可证得：△AEM≌△AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.

(2) 线段BM,ND和MN之间存在MN = DN－MB.

点评 平移、翻折和旋转是初中几何重要的三种变换方式，变换之后的几何图形与原图形对应的边、角均相等.巧妙的运用变换的基本性质或构造变换图形，均可以使题目的解答简易而顺畅.

5 与函数图象相结合,注重考察学生的数形结合思想.

（1）s与t之间的函数关系式是： ；

（2）与图20相对应的P点的运动路径是： ；P点出发 秒首次到达点B；

（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图16中补全函数图象.

解析 （1）图19是正比例函数图象，易求得s与t之间的函数关系式为：S= (t≥0)

（2）从图20的函数图象可以看出，动点P的纵y在运动时随时间t的增大开始时逐渐增大，而后又不变，最后又减小至0，说明P点在正方形的运动路径是：M→D→A→N.由图18、19可知，P点从点M运动到点B的路程为5，速度为0.5，所以首次到达点B需要时间为10秒.

点评 函数图象问题是数形结合的数学思想的重要体现，在中考试卷中也往往作为具有一定区分度的题目出现。例8是一个分段函数问题，其关键是依据函数图象弄清楚点P在正方形ABCD上的哪一段运动,坐标与时间、路程如何变化.

6 与实际问题相结合,注重考察学生构建数学模型的能力.

(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

点评 实际应用问题侧重考察学生的分析、理解问题的能力，它要求学生准确把握题目内容和要求的基础上，利用已有的数学知识，建立起方程、函数等数学模型，具有一定的难度.例9中的问题(2)就是建立二次函数关系式的数学模型,通过求函数最小值的方法求得答案.

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