翻新时间:2023-05-03
测度论中的存在性及唯一性
论文关键词:λ-系;σ-代数;概率测度;延拓
论文摘要: 测度论是现代的一个重要分支,在概率、随机过程、微分方程、微分几何中有广泛应用。测度理论是实变函数论的基础。集类知识与单调类定理是测度论中的基础,特别是单调类定理.这个定理是一个很要紧的定理.在后面证明测度唯一性定理,乘积测度存在定理等重要的定理中有涉及。在严加安老师的《测度论讲义》上这个定理有两个版本,目前该书是对单调类方法应用的最多的。有一些看起来很难的问题,也许用这个定理会相当简单.将定义在一个λ族上的概率测度延拓为包含该λ族的一个σ上的概率测度,在许多重要场合,特别是在学中有着十分重要的意义.关于这种延拓的存在性、唯一性等,给测度论提出了一系列新的理论课题,本文试图对λ族上概率测度的延拓问题作一些初步探讨.
的定义
设 为 上的一族非负有界函数,称 为 族,如果它满足下列条件:
(1)
;
且 有界 。
设C为 上的一族非负有界函数,我们用 表示包含C的最小 族,并称 为由C生成的 族。
证明:测度论中 的存在性及唯一性
b( ) 有界 C b( ).
往证:包含C的 族最小存在,且唯一,记为 .
令 ︱ C, 是 族 .
由于 故 非空,记
(一) 是含C的 族
验证: , 有界,必有 .
任意固定 故 .
又 有界,而 是 族,故 ,从而
(二)设 也是含C的 族,且是最小的。
显然 , =
=
族性质的引申:设 为 上的一族非负有界函数,我们用 表示非负有界 可测函数全体,则下列二断言等价:
(1) )= ;
(2)
Proof: ,首先设 成立
第一步:令 1 (#)
则:(a) 1
Proof:由(2)知:
1
(b) 1是 族
Proof::由(a)知 ,若 1, , 由定义
而 1
设 不变 均
即 1
设 1 , 有界 则
1 1是 族
由(a)(b)知 1且 1 从而 1=
[1]
第二步:令 2= 2 (*)
则(a) 2 (b) 2是 族 (证法与上面(a)(b)类似略)
从而 2且 2 2
即 对乘积运算封闭 (*1)
第三步:令 ( )
则(a)F是 类 (b)F是 类
证明:(a) 则
F是 类
(b)
,
则
F是 类 从而F使 代数
第四步: 对有限个的下端运算封闭:
Proof:不妨设 ( 中元素均非负有界)
故
往证:(a) (b)
Proof:(a)依第二步 ,
(b)事实A:对
则
归纳得 而 (事实A)
依2.2.2(4)
(c) )
第五步: 要证 从而
Proof:设
由
为 可测,对
第六步:往证
设 ,则 有界且
依 的定义及第五步:
有界
第七步:往证
只要证(a) (b) 是 族
Proof:(a) , (显然)
证(b):按 族定义逐条验证即可
综合第六,七步得 即(1)
设
(即 依然可测)
[2]
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