翻新时间：2023-05-03
测度论中的存在性及唯一性
论文关键词:λ-系;σ-代数;概率测度;延拓
论文摘要: 测度论是现代的一个重要分支，在概率、随机过程、微分方程、微分几何中有广泛应用。测度理论是实变函数论的基础。集类知识与单调类定理是测度论中的基础，特别是单调类定理.这个定理是一个很要紧的定理.在后面证明测度唯一性定理，乘积测度存在定理等重要的定理中有涉及。在严加安老师的《测度论讲义》上这个定理有两个版本，目前该书是对单调类方法应用的最多的。有一些看起来很难的问题，也许用这个定理会相当简单.将定义在一个λ族上的概率测度延拓为包含该λ族的一个σ上的概率测度,在许多重要场合,特别是在学中有着十分重要的意义.关于这种延拓的存在性、唯一性等,给测度论提出了一系列新的理论课题,本文试图对λ族上概率测度的延拓问题作一些初步探讨.
的定义
设 为 上的一族非负有界函数，称 为 族，如果它满足下列条件：
(1)
；
且 有界 。
设C为 上的一族非负有界函数，我们用 表示包含C的最小 族，并称 为由C生成的 族。
证明：测度论中 的存在性及唯一性
b（ ） 有界 C b（ ）.
往证：包含C的 族最小存在，且唯一，记为 .
令 ︱ C, 是 族 .
由于 故 非空，记
（一） 是含C的 族
验证： ， 有界，必有 .
任意固定 故 .
又 有界，而 是 族，故 ，从而
（二）设 也是含C的 族，且是最小的。
显然 ， =
=
族性质的引申：设 为 上的一族非负有界函数，我们用 表示非负有界 可测函数全体，则下列二断言等价：
（1） ）= ；
（2）
Proof： ,首先设 成立
第一步：令 1 （#）
则：（a） 1
Proof：由（2）知：
1
(b) 1是 族
Proof:：由（a）知 ，若 1， ， 由定义
而 1
设 不变 均
即 1
设 1 ， 有界 则
1 1是 族
由（a）(b)知 1且 1 从而 1=
[1]
第二步：令 2= 2 （*）
则（a） 2 （b） 2是 族 （证法与上面（a）（b）类似略）
从而 2且 2 2
即 对乘积运算封闭 （*1）
第三步:令 ( )
则（a）F是 类 (b)F是 类
证明：（a） 则
F是 类
（b）
，
则
F是 类 从而F使 代数
第四步： 对有限个的下端运算封闭：
Proof：不妨设 （ 中元素均非负有界）
故
往证：（a） （b）
Proof：（a）依第二步 ，
（ｂ）事实A：对
则
归纳得 而 (事实A)
依2.2.2（4）
（c） ）
第五步： 要证 从而
Proof：设
由
为 可测，对
第六步：往证
设 ，则 有界且
依 的定义及第五步：
有界
第七步：往证
只要证（a） (b) 是 族
Proof：(a) , (显然)
证（b）：按 族定义逐条验证即可
综合第六，七步得 即（1）
设
（即 依然可测）
[2]
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