数学学习法子 的摸索

内容提要：本文偏重论述了中学数学素质教学中数学学习法子 的摸索从数学教学的角度、数学本身的角度、数学学习的角度、数学内容的性质角度等四个方面如何实行数学学习法子 的领导谈谈自己的认识。

要害词：数学 学法 角度 摸索

近几年来，旨在教会学生会学习、进步学生自学能力 的学法领导的钻研和实践已是根基教导革新的一个热门 课题。这一课题的提出和钻研，不仅对当前进步根基教导质量、实行素质教导具有现实意义，而且对培植未来社会发展所需要 的人才、增进科教兴国具有历史意义。随着社会、经济、科技的高速发展，数学的利用越来越广，地位 越来越高，作用越来越大。不仅如此，数学教导的实践和历史还表明，数学作为一种文化，对人的全面素质的进步具有庞大的影响。因此，进步根基教导中的数学教学质量，就显得尤为首要。可目前由于受“应试教导 ”的影响，数学教学中违抗教导规律的现象和做法时有产生，为此更新数学教学思想、完善 数学教学法子 就显得更加急迫。在数学教学中，开展学法领导，正是革新数学教学的一个突破口。

一、对数学教学如何实行数学学习法子 的领导，人们进行了许多有益的摸索和实验 。首先是通过观察、调查，归纳总结了中学生数学学习中存在的问题，如“学习懒惰，不肯动脑；不订企图 ，惯性运转；漠视预习，坐等上课；不会听课，事倍功半；逝世记硬背，机械模仿 ；不懂不问，一知半解；不重根基，好高骛远；赶做作业，不会自学；不重总结，鄙弃复习 ”等等。针对这些问题，提出了相应的数学学法领导的道路和法子 ，如数学全程渗透式（将学法领导渗透于制定企图 、课前预习、课堂学习、课后复习 、独立作业、学习总结、课外学习等各个学习环节之中）；建立 数学学习惯例（课堂惯例 ———情境美，参与高，求精彩，求效率 ；课后惯例 ———认真读书，收拾笔记，沉思熟虑，勇于质疑；作业惯例 ———先复习 ，后作业，字迹明确，表述规范，盘算正确 ，填好《作业检测表》，重做错题）等等。诚然，这对于端正学习态度、养成学习习惯、进步学业成绩 、优化学习品德，采劝对症下药”的策略，开展对学习惯例的领导，无疑会收到较好的效果 。但是，数学学习法子 的领导，决不能漠视数学所特有的学习法子 的领导。可以说，这才是数学学法领导之内核和要害 。也就是说，数学学法领导该当偏重领导学生学会了解数学知识、学会解决数学问题、学会数学地思维、学会数学交换、学会用数学解决实际问题等。有鉴于此，笔者首要从“数学”、“数学学习”起程，来阐释数学学习法子 ，论述 数学学法领导。

二、从数学的角度起程，就是要考查。关数学的特性于数学的特性，虽仍有争议，但传统或者说对比科学的提法仍是３条：高度的抽象性、逻辑的严谨性和利用的广泛 性。

１．数学钻研的对象原本是现实的，但由于数学仅从空间情势与数量关系方面来反响客观现实，所以数学是逐级抽象的产物。比如三角形形状的实物模型随处可见，多种多样，名目繁多，但数学中的“三角形”却是一种抽象的思维情势（概念），撇开了人们常见的各种三角形形状实物的诸多性质（如天然属性、物理性质等）。因此，学习数学首当其冲的是要学习抽象。而抽象又离不开概括，也离不开对比和分类，可以说对比、分类、概括是抽象的根基和前提。比如，要从已经过抽象得出的物体运动 速度ｖ＝ｖ０＋ａｔ、产品的成本ｍ＝ｍ０＋ａｔ、金属加热引起的长度变更ｌ＝ｌ０＋ａｔ中再次抽象出一次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，显然要经过对比（它们的异同）和概括（它们的共同特点）。根据 数学高度抽象性的特性，数学学法领导要强调对比、分类、概括、抽象等思维法子 的领导。

２．数学结论的可靠性有其严峻的请求，观察和实验 不能作为论证的根据和法子 ，而是要经过逻辑推理（表现 为证明或盘算），方能得以承认。比如，“三角形内角和为１８０°”这个结论，通过测量的法子 是不能确立的，唯有在欧氏几何系统中经过数学证明才干确定其正确 性（断定性）。在数学中，只有通过逻辑证明和符合逻辑的盘算而得到的结论，才是可靠的。事实上，任何数学钻研都离不开证明和盘算，证明和盘算是极其首要的数学运动，而通常所说的“数学思想法子 往往是数学中证明和盘算的法子 。探求数学问题的解法也就是寻找相应的证明或盘算的具体法子 。从这一点上来说，证明或盘算是任何一种数学思想法子 的组成部分，又是任何一种数学思想法子 的目标 和表述情势 ”。又由于证明和盘算首要依赖的是归纳与演绎、分析 与综合，所以根据 数学逻辑的严谨性特性，数学学法领导要器重归纳法、演绎法、分析 法、综合法的领导。

３．由于任何客观对象都有其空间情势和数量关系，因而从理论上说以空间情势与数量关系为钻研对象的数学可以利用于客观世界的一切领域 ，即可谓宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学。利用数学解决问题，不但首先要提出问题，并用明确 的语言加以表述，而且要建立 数学模型，还要对数学模型进行数学推导和论证，对数学效果进行检验和评价。也就是说，数学之利用，它不仅表现 为一种工具，一种语言，而且是一种法子 ，是一种思维模式。根据 数学利用的广泛 性特性，数学学法领导还要领导学生建立 和操作数学模型，以及进行检验和评价。

三从数学学习的角度起程，就是要通过对数学学习历程的考查，引申出数学学法领导的内容和策略。关于数学学习的历程，对比新鲜的观点是：“在原有行径结构 与认知结构 的根基上，或是将环境对象纳入其间（同化），或是因环境作用而引起原有结构 的转变（顺应），于是形成新的行径结构 与认知结构 ，如此不断往复，直达到成相对的适应性平衡”。通过对这一认识的分析 和了解，就数学学法领导而言，可概括出以下３点：

１．行径结构 既是学习新知的目标和效果，又是学习新知的根基，因而在数学教学中亦需重视外部行径结构 形成的领导。由于这种外部行径首要包孕外部实物操作和外部符号（首要是语言）运动，所以在数学学法领导中，一要器重学具的操作（可请求学生尽可能多地制作 学具，操作学具）；二要器重学生的言语表达（给学生尽可能多地供给言语交换的时机，可以是教师与学生间的交换，也可以是学生与学生之间的交换）。

２．认知结构 同样既是学习新知的目标和效果， 也是学习新知的根基，故而数学教学要加强 数学认知结构 形成的领导。所谓数学认知结构 ，是指学生脑子中的知识结构 按自己的了解深度、广度，联合自己的感到、知觉、记忆、思维等认知特性，组合成的一个具有内部规律的整体结构 。因此，对于学生形成数学认知结构 的领导，要害在于不断地进步所浮现的数学知识和经验的结构 化程度 。在数学学法领导中，须注意如下几点：①加强 数学知识间接洽的教学。无论是新知识的引入和了解，还是巩固和利用，尤其是知识的复习 和收拾，都要从知识间的接洽起程。②器重数学思想的发掘和渗透。由于数学思想是对数学的本色的认识，因而数学思想是数学知识结构 建立 的根基。常见的数学思想有：符号思想、对应思想、数形联合思想、归纳思想、公理化思想、模型化思想等等。③重视数学法子 的明晰教学。数学法子 作为解决问题的手法，是建立 数学知识结构 的桥梁。常见的数学法子 有：化归法、结构法、参数法、变换法、换元法、配法子 、反证法、数学归纳法等。

３．在原有行径结构 与认知结构 的根基上，无论是通过同化，还是通过顺应来获得新知，必须 是在一种学习机制的作用下方能实现。而这种学习机制首要就是对学习新知历程的监控和调节，即所谓的元学习。本色上，能否会学，要害就在于这种学习是否建立 起来。于是，元学习的领导又成为数学法子 领导的首要内容。为此，在数学学法领导中，需要 注意：①要传授程序性知识和情境性知识。程序性知识即是对数学运动法子 的概括，如遇到一个数学证明题该先干什么，后干什么，再干什么，就是所谓的程序性知识。情境性知识即是对具体数学理论或技术的利用背景和条件的概括，如控制换元法的具体步骤，获得换元技术，了解在什么条件下利用换元法更有效，就是一种情境性知识。②尽可能让学生领会 影响数学学习（数学认知）的各种因素。比如，学习材料 的浮现法子 是文字的、字母的，还是图形的；学习任务 是盘算、证明，还是解决问题，等等。这些学习材料 和学习任务 方面的因素，都对数学学习产生 影响。③要充沛揭示数学思维的历程。比如，揭示知识的形成历程、思路的产生 历程、尝试摸索历程和偏差纠正 历程。④赞助 学生进行自我诊断，明确 其自身数学学习的特点。比如：有的学生长于代数，而认知几何较差；有的学生记忆力较强而了解力较弱；还有的学生口头表达不如书面表达等。⑤领导学生对学习运动进行评价。如评价问题了解的正确 性、学习企图 的可行性、解题程序的简捷性、解题法子 的有效性等诸多方面。⑥赞助 学生形成自我监控的意识。如监控认知方向意识、认知历程意识和调节认知策略意识等等。

四根据 数学内容的性质，数学教学一般可分为概念教学、命题（首要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习 等５类。相应地，数学学法领导的实行亦需分辨 落实到这５类教学之中。这里仅就例题教学中如何实行数学学法领导谈谈自己的认识。

１．根据 学生的学情布置例题。如前所述，学习新知必须 建立 在已有的根基之上，从内容上讲，这个根基既包孕知识根基，又包孕认知程度和认知能力 ，还包孕学习兴趣 、认知意识，乃至学习态度等有关学习动力系统 方面的筹办。因此，无论是选配例题，还是布置例题，都要考虑 到学生的学习情况 ，尤其是要考虑 激发学生认知兴趣 和认知需求的原则（称之为动机原则）。在例题选配和布置中，可采纳增、删、调的策略，力求既突出重点，又符合学生的学情。所谓增，即根据 学生的认知缺点增补铺垫性例题，或者为突破某个难点增加过渡性例题。所谓删，即根据 学生情况 ，删去对比简略的例题或请求过高的难题。所谓调，即根据 学生的实际程度，将后面的例题调至前面先教，或者将前面的例题调到后面后教。

２．根据 学习目标 和任务 精选例题。例题的作用是多方面的，最根基的莫过于了解知识，利用知识，巩固知识；莫过于训练数学技术，培植数学能力 ，发展数学观念。为施展例题的这些根基作用，就要根据 学习目标 和任务 选配例题。具体的策略是：增、删、并。这里的增，即为突出某个知识点、某项数学技术、某种数学能力 等重点内容而增补强化性例题，或者根据 接洽社会发展的需要 ，增加补充 性例题。这里的删，即指删去那些作用不大或者过时的例题。所谓并，即为突出某项内容把单元内前后的几个例题合并为一个例题，或者为突出知识间的接洽打破单元界限 而把不同内容的例题综合在一起。

３．根据 解题的心理历程设计例题教学程序。遵守波利亚的解题理论，一般把解题历程分为弄清问题、拟定企图 、实现企图 、回首等４个阶段。这是针对解题历程本身而言的。但就解题教学来说，还该当增加一个步骤，也是重要环节，即要使学生“进入问题情境”，让学生产生 一种认知的需要 。对于“进入问题情境”环节，请求教师用简短的语言，在承上启下中，提出学习目标 ，明确 学习任务 ，激起认知冲突。而对其余４个环节，教师的行径可按波利亚的“怎样解题表”中的请求去构思。一般教师和学生都能够注意做到做好前３个环节，却容易漠视“回首”环节。严峻说来，回首环节对解题能力 的进步，对例题教学目标的实现起着不可替代的作用。对回首环节来讲，除波利亚提出的几条以外，更为首要的是对解题法子 的概括和反思，并使其能迁移到其它问题的解决之中。

４．根据 数学法子 领导的目标和内容适度调剂例题。通常，人们根据 问题的条件（Ａ）、解决的历程（Ｂ）及问题的结论（Ｃ）的情况 把数学题划分为标准 题和非标准 题两大类：如果条件和结论都明确 ，学生也熟知解题历程 （即Ａ、Ｂ、Ｃ三要素全已知），这种题为标准 题（记为ＡＢＣ）；Ａ、Ｂ、Ｃ三要素中短缺一个或两个要素的题则为非标准 题。如果分辨 用Ｘ、Ｙ、Ｚ表现对应于Ａ、Ｂ、Ｃ的未知成分，则非标准 题的题型（计６种）可表现为：ＡＢＺ，ＡＹＣ，ＸＢＣ，ＡＹＺ，ＸＢＺ，ＸＹＣ。数学教材中的例题大多数是ＡＢＣ型和ＡＢＺ型，有部分的ＡＹＣ型和极少数的ＡＹＺ型。由于数学学法领导的一项首要任务 是教学生会抽象、概括、归纳、演绎，会数学地思考和交换，会分析 问题和解决问题，因而例题教学要特别 重视教材中短缺的几种类型题的教学。其中最为首要的是“开放性题”（ＡＢＺ型和ＡＹＺ型例题中，Ｚ不唯一）和“数学问题解决”中所指出的“数学利用题”（ＡＹＣ型及ＡＹＺ型中所涉及的主题是数学以外的内容）。对于“开放性题”，由于它的结论不唯一，对培植学生数学思维有着至关首要的作用。对于“数学利用题”，则由于它的解决要用数学模型法，因而对培植学生运用 分析 问题和解决问题的法子 是十分首要的。从数学学法领导的角度来说，适度调剂例题很有必要。调剂的策略有二：一是改，即将已有的题型变换为别的题型；二是增，即增加与知识点有关的“开放性题”和“数学利用题”。

５．重视对例题的全方位反思。例题的作用是多方面的，除上文提到的几点外，例题教学还具有传授新知识，积累 数学经验，完善 数学认知结构

参考文献：

1、曲培富《数学教学中“教为主导、学为主体”的认识与实践》（《中学数学杂志》1993年第1期）

2、肖柏荣《数学教导设计的艺术》（《数学通报》 1996年10月）

3、冯克诚《中学数学钻研：3+x中学成功 学法系统》（内蒙古出版社，2000年9月）

4、皮连生《学与教的心理学》（华东师范大学出版社 1997年）