一类矩阵两种迭代法的收敛性比较

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翻新时间：2013-12-18

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一类矩阵两种迭代法的收敛性比较

1类矩阵两种迭代法的收敛性比较

摘要

数值计算是应用数学的1个重要分支，线性方程组的求解是数值计算中的1个重要部分，雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法又是线性方程组的数值求解常用的方法。本文就严格对角占优矩阵这1类矩阵分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法进行求解，并对两种迭代法的收敛性进行比较，得到Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobi迭代法的收敛速度快。

关键词：Jacobi；Gauss-Seidel；收敛性；谱半径；严格对角占优矩阵

A Comparison between the Astringency of two Iterations in A Matrix

Abstract

The numerical computation is an important branch of applied mathematics, while the solving of the system of linear equations is an important part of the numerical computation. And both the Jacobi Iteration and the Gauss –Seidel Iteration are the common numerical methods for the system of linear equations. This page separately uses the Jacobi Iteration and the Gauss –Seidel Iteration to solve the kind of matrix which is Strictly diagonally dominant matrix, and compares the convergence of the two iterations. Therefore, there is a result that convergence rate of Gauss –Seidel Iteration is faster than that of Jacobi Iteration.

Key word: Jacobi; Gauss-Seidel; convergence; spectral radius; Strictly diagonally dominant matrix

前言

随着科学技术的飞跃发展，矩阵计算的理论和方法与方程的求解已经成为科技领域处理数学问题的不可或缺的强大工具，它是计算数学的1个重要分支，同时它在系统工程稳定性理论等相关科学，特别是在计算科学中也得到了广泛的应用。

众所周知，许多实际问题最后常常归结为解1个或1些大型稀疏矩阵的线性方程组的求解问题，线性方程组的求解成为计算数学中数值代数研究的核心之1。

线性方程组的解法有两种：迭代法和直接法。迭代法与直接法不同，对于1些特殊的方程组（如：大型稀疏矩方程组）用直接法就难于把方程组的解算出来，就需使用迭代法，迭代法不能通过有限次的算术运算求得方程组的精确解，而是逐步逼近它，即使每1步都用精确的算术运算，迭代法也只能得到近似解。雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法是迭代法中的两种。两种迭代法的本质区别在于：Gauss-Seidel迭代不断地运用新值替代旧值，而Jacobi迭代却不是。在实际计算时，Gauss-Seidel迭代法的迭代格式比Jacobi迭代格式紧凑，并且只需要1套存放迭代向量单元。凡是迭代法都有收敛性与识差估计的问题，对于1个给定的方程组，某些迭代法收敛的快，而有些迭代法可能不收敛，或收敛的慢，以至于无实用价值。参考文献[9]对Jacobi与Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组收敛性作过比较与研究，他们给出对于简单的2阶方程组1些基本技巧，若Jacobi法与Gauss-Seidel法均发散，可交换其两行求得其解。对1般方程组，给出1个应用性较强的定理，将方程可以用Gauss-Seidel求得任何| |≠0方程组的解。本论文主要是利用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法针对1种类型矩阵的收敛性作了分析与比较，对于这类矩阵，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度总是比Jacobi迭代法的收敛速度快的结论得到了验证。