一个定理的再应用

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翻新时间：2023-01-06

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一个定理的再应用

求距离的最值是我们高中数学解析几何中的一个难点，这类题型对学生的几何能力、思维转换要求较高，许多学生面对这类问题时感到束手无策，而“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”这个定理的应用，解决此类题型的某些问题，往往会起到事半功倍的效果.本文就此类最值问题应用上述定理来解决，作一初步的探索.

例1（1）点P在直线l∶3x-y-1=0上，点A（4，1）、点B（0，4）.求PA-PB的最大值；

（2）点P在直线l∶3x-y-1=0上，点A（4，1）、点C（3，4）.求PA+PC的最小值.

总结反思一般的，求距离之差的最大值应让两点处于直线的同侧，若在异侧则作其中一点关于直线的对称点，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与直线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边；求距离之和的最小值应让两点处于直线的异侧，若在同侧则作其中一点关于直线的对称点，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与直线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边.

例2已知椭圆x225+y216=1内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则PA+PB的最大值为.

解因为点B为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为F即（-3，0），由椭圆的概念可知PB+PF=2a=10，则PB=10-PF，PA+PB=PA+10-PF=10+（PA-PF）≤10+AF.

例3已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则PF+PA的最小值为 .

所以PA+PF得最小值为9.

总结反思一般的，动点在圆锥曲线上求这两种距离时，要结合圆锥曲线的概念，进行转化.求距离之和的最小值让两点处于圆锥曲线的异侧，若在同侧要利用圆锥曲线的概念转化为异侧，异侧两点的距离即为所求最小值，两点连线与圆锥曲线的交点即为取得最小值时的动点，其依据为：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值让两点处于圆锥曲线的同侧，若在异侧要利用圆锥曲线的概念转化为同侧，同侧两点的距离即为所求最大值，两点连线的延长线与圆锥曲线的交点即为取得最大值时的动点，其依据为：三角形两边之差小于第三边.随着高中教材及高考改革的深入，高考试题经历了以知识立意向以能力立意的转变，试题设计中，关注过程性知识的考查；在呈现方式上，出现了折叠、投影、截面、三视图等多种形式；在设问方式上，出现了探究性、开放性的试题及动手操作型试题上.

例6（2012年北京卷）如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AC、AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图6.

（Ⅰ）求证：DE∥平面A1CB；

（Ⅱ）求证：A1F⊥BE；

（Ⅲ）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.

命题意图本题以折叠为背景，体现二维平面到三维立几的这一过程.（Ⅰ）（Ⅱ）考查了立几的平行与垂直的证明；（Ⅲ）的设问考查学生探究能力.考查了学生的思维过程.

立体几何试题是高考命题改革的“试验田”，此试题的背景比较新颖，需要实际操作和巧妙设计，根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、创新.但是，无论怎样改革，我们一线老师一定要坚持“最基础的知识才是最有用的知识”的原则，狠抓基础知识，基本思想方法的教学；重视过程教学，注意知识的发生发展过程；充分挖掘课本中的每一个概念的内涵与外延，让学生形成知识结构.这样，我们才能在高考立于不败之地，永远是“常胜将军”.