翻新时间:2023-07-04
导数的几何意义及运用解密
函数[y=f(x)]在[x=x0]处的导数[f(x0)]的几何意义是曲线在点[x0]的切线斜率,它不仅是导数概念直观化形象化的模型,也是导数作为数学工具加以运用的一个重要途径.把握导数几何意义及运用的常用类型,对于学好导数有着极其重要的意义.本文以列举范例的形式,对导数几何意义及运用加以解密.
基础运用――切线斜率
例1 设曲线[C:y=x3],点[P(1,1)],直线[l:y=-x+1].
(1)求曲线[C]在点[P]处的切线[m]的方程,并求切线[m]与[C]的公共点的坐标;
(2)曲线在哪个点处的切线与[l]垂直?
再由[y=3x-2,y=x3]得,[x3=3x-2],
(2)切线与直线[l:y=-x+1]垂直,则切线斜率为1.
设切点为[(x0,x03)],由[y=3x2]得,[3x02=1],
则[x0=±33],从而切点为[(33,39)]或[(-33,-39)].
点拨 “求切线,定切点”,包括给出的点在或不在已知曲线上两类情况,求切线方程的难点在于分清“过点[(x0,y0)]的切线”与“点[(x0,y0)]处的切线”的差异. 突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处:在过点[(x0,y0)]的切线中,点[(x0,y0)]不一定是切点;而点[(x0,y0)]处的切线,必以点[(x0,y0)]为切点,故此时切线的方程才是[y-y0=f(x0)(x-x0)].
引申运用――割线斜率
A. [f(x)=x] B. [f(x)=1x]
C. [f(x)=x2] D. [f(x)=2x]
答案 B
点拨 函数[y=f(x)]在图象上任意两点[M(a,f(a)),N(b,f(b))]连线的斜率(存在的话)[k=f(b)-f(a)b-a]的取值范围就是函数图象上任意一点切线的斜率(如果存在的话)范围,即导函数的值域,运用这一点,可以解决一些有关割线斜率的棘手问题.
拓展运用――公切线
同理,函数[y=-x2+a]的导数[y=-2x],曲线[C2]在点[Q(x2,-x22+a)]的切线方程是
[y-(-x22+a)=(-2x2)(x-x2)],
即[y=-2x2x+x22+a.] ②
如果直线[l]是过[P]和[Q]的公切线,则①和②是同一直线方程.
若[Δ=4-4×2(1+a)=0].
由①得公切线方程为[y=x-14].
所以公切线段[PQ]与[PQ]互相平分.
点拨 凡遇公切线,先设两切点,然后由导数计算切线斜率,再由点斜式写出两曲线的切线,最后利用两切线重合列方程组求解.
综合运用――化归转化
解析 如上图,运用运动变化的观念可知,与已知直线[l]平行且与抛物线[C]相切的直线的切点[P]到直线[l]的距离最短.
设切点[P(x0,x02+x0-2)],由抛物线[C:y=x2+x-2]得,
[y=2x+1],
则[2x0+1=3],故[x0=1].
则切点[P(1,0)],此时最短距离[d=3×1-1310=10].
点拨 本题属于“非圆类曲线上的动点到与之相离的定直线距离的最值”,解答此类问题,求曲线的切线方程是基础,而转化是关键(将曲线上的动点[P]到定直线[l]的距离最值转化为直线[l]与平行于[l]的抛物线[C]的切线之距).当然本题也可以设[P(x0,x02+x0-2)],用点到直线距离公式及配方法求解.
下载文档
网友最新关注
- 猜球
- 百盛果
- 我当了一回家
- 我的妈妈
- 美丽的花冲公园
- 赠爸爸----爸爸我想对您说
- 下雨的时候
- 我不想时间过得那么快
- 我的老师
- 赠妈妈----妈妈我想对您说
- 四季的森林公园
- 柿子熟了
- 森林去哪了?
- 义卖活动
- 撒谎
- 2011年煤矿百日安全决心书
- 从新开始的决心书
- 证兵决心书
- 新学校的决心书
- 先进性教育分析评议与整改提高资料(行政审批服务版)例2
- 疼老婆决心书
- 中考百日誓师应战书
- 小学教学质量承诺书
- 先进性教育分析评议与整改提高资料(行政审批服务版)例1
- 保持先进性教育学习心得
- 先进性教育分析评议与整改提高资料(个人版)例4
- 戒烟决心书
- 2011届高考决心书
- 少先队员争做四好少年决心书
- 先进性教育分析评议与整改提高资料(个人版)例5
- 完善权力构建和运作的民主机制 促进社会主义政治文明建设
- 品牌权益综合模糊测评研究方法探讨(1)
- 浅谈目喻我国司法制友之问题与改革(1)论文
- 浅谈影响司法公正的因素、实现途径(1)论文
- 对于雕塑发展困难及策略
- 关于客户关系管理(CRM)的分析(1)
- 中小企业网络营销若干问题探讨(1)
- 物流配送对网络零售市场拓展的影响(1)
- 基层法院人民法官现状及思考(1)论文
- 试论法定公证原则(1)论文
- 共产主义是全球化的必然趋势
- 深入学习实践科学发展观推动基层检察院科学发展(1)论文
- 绿色奥运中绿色营销与绿色物流发展策略的探析(1)
- 浅谈网络效果营销的利与弊(1)
- 民事诉讼证据收集与调查制度研究(1)论文
- 《火烧云》教学设计3
- 《火烧云》第二课时教学设计7
- 《观潮》教案
- 《她是我的朋友》教案
- 《火烧云》第二课时教学设计6
- 《火烧云》教学设计1
- 《火烧云》第一课时教学设计1
- 《火烧云》教学设计4
- 《火烧云》第二课时教学设计8
- 《火烧云》教学设计5
- 《富饶的西沙群岛》说课稿教案
- 《火烧云》教学设计2第一课时
- 《火烧云》第二课时教学设计9
- 《火烧云》教学设计6
- 《火烧云》教学设计2第二课时