谈三角函数的最值问题

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翻新时间：2023-08-09

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谈三角函数的最值问题

三角函数的最值问题涉及范围广，方法典型独特，解法多样。有些解法又有较强的技巧性，是历年高考命题的重点和难点。下面谈谈这类问题的求解策略。

三角函数是重要的数学运算工具之一，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

从上例可以清晰地看出，这一类三角函数的最值求解中运用的基本的方法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin（）”的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的取值范围仔细地考察。

上例就是利用在闭区间上求二次函数最值的方法，就可以求含三角式的二次函数的最值。但是在运用这个方法前，首先要引用三角比之间的转换使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比视为二次函数的自变量。

这是一例分子、分母只有常数项不同的三角函数式，便可以在分子中添置辅助项后，通过恒等变形把它化成只有分母含有自变量的三角函数式，只需研究分母的最值，就能求出原函数的最值。在这样的变形中，若遇到要把分子“翻下去”作为繁分式分母一部分时，这个“翻下去”的式子不能为零，如果这个式子可能为零，则应将为零的情况另作处理，“设其不为零”的情况下继续解下去，最后把各种情况下求得的值综合起来考虑最值。

综上所述，总结出了三角函数最值问题的求解策略。显然，三角函数最值问题类型繁多，所涉及的知识面广，解法灵活。所以在解题过程中，注意函数表达式的内在特点、题型结构特征，选用恰当的求解策略和方法技巧，能使解题过程简单巧妙，收到事半功倍的效果。

参考文献

[2]四川工程职业技术学院学报.2008年01期。

[3]付海平三角函数的最值问题[J].中学数学，2004，（09）。