翻新时间:2022-09-28
删繁就简三秋树
【编者的话】“删繁就简三秋树”是扬州八怪郑板桥的一句诗,意思是绘画作文要像深秋的树褪去繁枝茂叶,以最少的笔墨表达丰富的意蕴,达到以简驭繁的艺术效果.在解数学应用题时,我们经常会遇到多个变量的情况,这时如果能分析条件与条件、条件与结论的内在联系,把握量与量之间的关系,从而选择其中一个或极少数几个变量作为基本变量,将其他量用它(们)简洁地表示出来,建立函数或不等式求解,就能感受到“消元法”的威力,下面我们用消元法来探讨两个三角应用题.
1.如图1,某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处,已知AB=AC=6 km,现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站.记P到三个村庄的距离之和为y.变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?
拿到题目乍一看,有点摸不着头脑,不知该如何下手.此题并没有给出明确的白变量,需要我们自己选择适当的自变量来进行建模求解.这时先不要急于考虑如何选择自变量,而是应该先考虑题目究竟让我们求什么.
这道题求的是变电站到三个小区距离之和的最小值,也就是点P到三角形三个顶点的距离之和的最小值.那么先把距离之和写成数量关系,即
V=AP+BP+CP=AP+2BP,
①
表达式虽然写出来了,但存在多个未知量,我们围绕着①式中的未知量,再深入分析这个三角形中各个量之间的关系,
由题意知
这里一共有y,AP,BP,PO,∠PBO五个未知量和四个等式,我们可以用消元的思想把y表示成其余四个变量中任意一个变量的表达式,然后根据该变量定义域的范围求解y的最小值.
这时我们还需要再思考一下,AP,BP,PO,∠PBO中选择哪个作为自变量最合适呢?看到这,也许有同学会有疑问:为何要写出④式,由前三个式子不就可以把y化为PO的表达式了吗?
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