关于小学数学算法多样化的认识与思考

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[论文关键词]小学数学 算法多样化 价值取向 优化

[论文摘要]目前，小学数学教学越来越关注算法的获得和选择对学生的影响。本文试图探讨新的数学课堂教学的模式，调动不同层次学生数学学习的积极性，让学生学会数学地思维，培养学生辩证地分析问题、处理问题的能力，发挥学生在课堂中学习的互补性。但在具体的实施中存在误区，有些关系需要我们重新去认识，正确去处理。

新《数学课程标准》明确提出“应重视口算，加强估算，提倡鼓励算法多样化”，这无疑给小学数学教学改革注入了兴奋剂。所谓小学数学算法的多样化，就是在小学数学教学中先让不同层次的学生经历探索的过程，去发现算法，然后在课堂教学平台上由一些学生展示各自的算法，必要时教师补充算法，再通过班级集体和老师的力量对呈现的算法进行分析、比较和优化，使学生感悟算理，形成适合自己个性的算法，最后把获得的算法用于自己的学习和生活中，从中体验学习数学的快乐。小学数学算法的多样化更加关注不同学生学习数学的认知特点和学生已有的数学学习基础，并利用不同的算法对学生进行数学思想方法的灌输，改变了以往小学算术教学过于强调计算技能培养的套路，突出过程性教学，使不同层次的学生都能参与到教学过程中来，更好地体现学生的主体性，使学生个性得到张扬，学生之间的相互学习得到倡导。

一、小学数学算法多样化的价值取向

曾记得在十几年前，有一项小学生的珠心算实验引起了人们的注意。实验要求口算的学生心中有个算盘，不需要实际拨珠的动作，反复训练形成一种快速计算的技能。实验在当时有其价值，它把珠算和心算结合在了一起，继承了我国数学文化，但由于口算方面的过高要求而不能被推广。实验组的学生掌握的是“算术”，他只要按照一定的程序机械地运算就会得到结果，但他们在数学的其它能力方面没有优势。随着社会的发展，总的来说对个体的计算技能要求有所降低。可是，“会不会算”和“怎样算才快”始终是计算面临的两个基本问题，算法相对于计算技能变得越来越重要。在小学数学教学中实施算法多样化，就是要发挥算法的教学功能，把各种算法作为小学数学教学的资源。

1. 算法多样化突出对学生数学思想方法的培养。数学是一门横断学科，其它学科或多或少会用到数学。所以我们总是把数学的工具性提到了一个很高的位置。但数学教育的目的不仅仅是要让学生掌握数学知识（包括计算技能），更重要的要让学生学会数学地思维。例如要比较分数和的大小，有一种方法是从“反面”入手的，把分数分解成与相同整数和另一分数之差，接下来只要比较另一个分数的大小。若从数学的工具性出发，则学生只要能得到计算结果就行，分数大小的比较，无论采用通分、十字相乘还是化为小数，都比较方便，惟独从“反面”入手这种方法许多学生不太会想到。但它的教学价值在于用到了化归的数学思想方法，是一种间接的比较办法。现在的小学计算教学，就是要让学生感受计算方法提炼的过程，体会其中的数学思想方法，更在于让学生思维碰撞，并形成切合学生个人实际的计算方法，从中培养学生的数学意识，使学生能自觉地运用数学思想方法来分析事物，解决问题。小学数学算法多样化，还可使一些学生不限于一种计算方法，把所学知识融合起来，最终学生的思维会更灵活，对计算方法的理解会更深刻。

2. 算法多样化强调不同层次学生的参与。“算法多样化”是实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的有效途径，也是尊重学生个性化学习、促进学生个性化发展的有效途径。小学数学算法多样化，改变了以往教师直接把计算方法展示给学生的教学方法，吸引了不同层次的学生参与到教学过程中来。小学数学算法多样化中不同的计算方法，主要是由学生提出来的，是群体的多样，并不要求所有的方法每个学生都要掌握，但每个学生都可以提出自己的想法与大家共享。新《数学课程标准》在“教学建议”中也明确提出：由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多种多样的。例如，为了探索9+5的计算方法，新世纪版小学数学教材借助现实的问题情境，出示了两只可装10瓶牛奶的盒子，它们各装了9瓶和5瓶牛奶，问牛奶总的瓶数。在相应的某一教学片断中，有的学生在9瓶的基础上又数5瓶得14瓶，也有学生移动1瓶到9瓶的盒子中共得14瓶……特别是有学生提出借1瓶装满9瓶这一盒共得15瓶，再还1瓶获结果14瓶。这位学生思维的深度显然要比用数数的方法计算的学生来得深。数数比较直接，借牛奶比较巧妙，不同的学生会用不同的方法，我们不能苛求学生用同一算法。教师始终要尊重学生，要营造民主的氛围，要为学生相互交流、相互学习提供平台，使不同层次的学生敢于表达自己的见解。

二、小学数学算法多样化的误区

2. 误区二：算法无需优化。小学数学算法多样化需要优化，这个观点目前被绝大多数教师所接受。算法多样化和算法优化“从本质上看，这二者并不矛盾，他们在本质上是两种思维训练，而这二者都是学生需要的。”学生常常会把自己熟悉的方法认为是最简的，这没有错。可是，课堂上不同的学生各讲自己的计算方法，教师不引导学生对呈现的计算方法加以比较分析，学生会分不清各种方法适用的范围，会忽视基本算法，这对学生形成系统的数学知识是不利的。优化算法需要学生对算法在计算上的有效性做出自己的评价，但绝不是强迫学生接受他人算法，应允许学生保留自己的算法，优化算法的主体是学生而不是教师。最简便的方法不一定通用，通用的方法也不一定是最简便。通过算法优化，我们可以培养学生的优化意识，使学生能辩证地看待事物，明白在不同的情况下要运用相对合理的计算方法。 "

3. 误区三：算法多样化就是一题多解。小学数学算法多样化指的是群体的多样化，并不要求每个学生提出多种计算方法，更不要求每一个学生掌握每一种计算方法，这是与一题多解的本质区别。一题多解要求每一个学生用多种方法来求解同一道题，而算法多样化是从班级的层面上来讲要求学生提出多种计算方法，但对学生个体来说，他（她）可能只提出了一种适合自己的方法，甚至于可能还没找到计算方法。算法多样化和一题多解对学生的启示有共同点，就是同一个问题我们可以用多种方法去解决，这对改变数学教学中追求“惟一答案”的现象会起到很好的作用。算法多样化更符合小学生的实际，我们鼓励优秀的学生在算法多样化过程中进行一题多解，但不能拔高整体要求。算法多样化相对于一题多解，更突出不同个体之间学习的互补性，尤其在算法交流和优化阶段，相互学习氛围会更浓。

三、小学数学算法多样化实施中应注意的问题

1. 基本计算能力与算法多样化。新《数学课程标准》是在“重视口算，加强估算”的基础上提倡鼓励算法多样化，这要求我们不能刻意追求算法多样化，不能让学生基本计算能力失落。随着各种电子计算工具的涌入，在大数及多步计算方面的要求必然会降低，但我们要防止学生动不动就按键计算，不能让学生由于基本计算能力低下影响到后继学习。因此，小学数学教学中我们不能对各种计算方法一视同仁，而要对一些基本计算方法有所侧重，让学生明白通用方法和最简方法，必要时对学生的计算能力进行适度机械训练，特别是在低段，像开小火车等有助于提高口算能力的竞赛要在课堂上多开展。同时，小学数学教学不能忽视估算，像著名的蒙特卡洛（Monte Carlo）方法，是用随机数学方法来求解确定性数学问题，这是对确定性数学问题结果的一种估算。估算讲究方法，在估算中我们同样倡导估算方法的多样化，还可以通过估算来检验精确计算。

2. 算理与算法多样化。在古代数学中，以《九章算术》为代表的突出算法倾向的东方数学与以《几何原本》为代表的突出演绎倾向的西方数学相映成辉。其中《九章算术》把全书分成9个大类，用一个固定的模式解决同类问题，其思维方式表现为构造性和机械化，这切合当今计算机时代的要求。吴文俊先生吸收了我国古代数学思想的精髓，开创了计算机证明的先河。由此看来，我们不应排斥算法机械化，但同时我们又要崇尚理性。在小学计算教学中要多引导学生思考“为什么这样算”，要让学生理解自己算法的算理。曾有一种观点认为学生的学习是一种顿悟，只要学生算对结果，就要少问学生“为什么”，这有一定的道理。教师不应强迫学生说算理，但在算法多样化过程中，需要对一些重要方法在算理上进行必要的分析，以便从整体上对学生产生积极影响。例如，求最大公约数和最小公倍数有两种基本方法，其中短除法比较机械，而分解质因数法更体现概念的本质。小学教材突出了短除法的具体操作，没有很好地建立起这两种方法的联系，这容易造成一些学生无法把短除法过程和分解质因数的过程一致起来。这种状况的出现是由于学生还没有真正理解它们在算理上的共性。

3. 教师与算法多样化。小学数学课堂教学中实施算法多样化，一般包括“提出问题（或创设情境）—独立计算—交流算法—优化算法—巩固算法”五个环节。教师在这些教学环节中要适度发挥作用:

（1）教师要鼓励不同层次学生参与到教学的过程中，但不要把学生的各种算法统一到最简或通用的方法上来，而是要让学生主动构建数学知识。

（2）教师可以展示自己的算法，但要防止课堂教学变成教师算法多样化的展示，更多的时候应该是学生算法的展示。教师对学生的算法不能一律称好，需要比较，从而使学生认清不同算法的价值，分清基本算法和特殊算法，明确算法的适用范围。

（3）教师要引导学生建立起一些算法之间的联系。像前面提到的牛奶瓶数的计算，一种是通过操作（移动或借）来计算，另一种是式子计算，建立这两类方法之间的联系对小学低段的学生来说非常重要。

（4）教师要帮助学生提炼方法背后的数学思想，使学生掌握凑整、拆分、化归等计算策略，还要鼓励学生在算法多样化中不断创新。如在计算三个数的最大公约数和最小公倍数时学生常会出错。错误的主要原因是学生没有分清两个数的公约数和三个数的公约数的界限。教师可鼓励学生对教材上的短除法进行改进。事实上只要在三个数的公约数短除和两个数的公约数短除之间建立分界线，虽然只是一点点变化，但同样是算法上的创新，这样做会减少学生错误的发生。

（5）教师不应把算法多样化的教学模式限于计算方面的教学，还可把其中所体现的教学理念落实到应用题等其它数学知识的教学中去。

参考文献 [2]徐辉.关于新课程改革中教学问题的观察与思考——兼论小学数学算法优化与多样化的关系[J].课程·教材·教法，2003

(10)：14.