以根的分布为题设的线性规划问题

【论文关键词】根的分布 线性规划 交汇题

【论文摘要】由2007年高考全国卷 = 2 * ROMAN II（文）第22题看出，我们可以构造一类函数与线性规划的交汇题——以根的分布为题设的线性规划问题. 这是因为函数 在区间端点的函数值 ，是讨论一元二次方程 区间根的重要参数.由于 是关于 、 、 的一次表达式，这就为构造以一元二次方程根的分布为题设的线性规划问题创造了条件，同时也符合高考在知识网络的交汇点处命题的思想.近两年的高考题、模拟题中以一元二次方程根的分布为题设的线性规划问题的常见变式有以下三种：变式一：由函数问题导出根的分布特征的线性规划问题；变式二：以根的分布为题设的非线性规划问题；变式三：由函数问题导出根的分布特征的非线性规划问题.

【正文】

题目 （2007年全国卷Ⅱ，文22）已知函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 .（Ⅰ）证明 ；（Ⅱ）求 的取值范围.

解 函数 的导数 ．

（Ⅰ）由函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，知 是 的两个根．

所以

当 时， 为增函数， ，由 ， 得 ．

（Ⅱ）在题设下， 等价于

即

此不等式组表示的区域为图1中的阴影区域，不难求得 .

[1]

评注 由这道题看出，我们可以构造一类函数与线性规划的交汇题——以根的分布为题设的线性规划问题.本题的特征是已知含有两个参数的三次函数极值点范围，求关于这两个参数的线性目标函数的值域.由于三次函数的导函数为二次函数，已知三次函数极值点的范围，亦即给出了二次导函数根的分布区间，于是便可得到参数的线性约束条件，从而构造出线性规划问题.

一般地，解决一元二次方程 根的分布问题可按如下三个步骤进行：

第一步：分析 的符号.

若 ，则方程无实根；

若 ，则方程有两等根 ；

若 ，则方程有两不等实根.

第二步：当 时，讨论函数 在区间端点的函数值符号.

若 ，则方程的两根在 的异侧，即 ；

若 ，则方程的两根在 的同侧，即 .

第三步：当 时，再讨论对称轴与区间端点的位置关系.

若 ，则方程的两根在 的左侧，即 ；

若 ，则方程的两根在 的右侧，即 .

由上述解法可以看出，函数 在区间端点的函数值，是讨论一元二次方程 区间根的重要参数.由于 是关于 、 、 的一次表达式，所以根据方程 区间根列出的不等式，往往是关于 、 、 的线性约束条件，这就为构造以一元二次方程根的分布为题设的线性规划问题创造了条件，同时也符合高考在知识网络的交汇点处命题的思想.

由于高考强调“以能力立意”，因此，我们看到的高考题往往是这类问题的拓展与改造，如将线性规划问题改为非线性规划问题，或由函数问题引出一元二次方程根的分布特征.现结合近两年的高考题、模拟题谈谈以一元二次方程根的分布为题设的线性规划问题的常见变式及其解法.

变式1 由函数问题导出根的分布特征的线性规划问题.

2007年高考全国卷 = 2 * ROMAN II（文）第22题就是这类题型.

[2]

变式2 以根的分布为题设的非线性规划问题.

A. B. C. D.

解 设 ，则有：

即

表示图2中阴影区域内的点与点(0,0)连线的斜率.

不难得到 .

故选D.

变式3 由函数问题导出根的分布特征的非线性规划问题.

例2 （2007年北京西城区一模，理）已知函数 且 .若实数 、 使得 有实根，则 的最小值为（ ）

A. B. C. 1 D. 2

解 令 ， 则 .

依题意有： 或 ，

即 或 .

表示图3中阴影区域内的点到原点(0,0)的距离.

原点到

的距离均为 ，

的最小值为 ， 故选A.

[3]

点评 本题将题设变量代换后方显根的分布特征.另外，本题中得到的可行域是两不等式表示区域的并集，而不是交集.这与不等式组形式的线性约束条件是不一样的.

例3 （2006年深圳第一次调研，理）已知 、 是三次函数 的两个极值点，且 ，则 的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

解 . 依题意有：

即

不难求得 ，故选A.

点评 本题考查导数、根的分布、线性规划和直线斜率方面的知识，体现了知识点的衔接、融合，同时也体现出高考在知识网络的交汇点处命题的思想，要求考生能熟练运用各种知识去解决问题.

[4]