有关抽象函数的全面探析

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翻新时间：2022-10-12

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有关抽象函数的全面探析

摘要：抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识，更能考查学生的数学综合能力。

关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性

抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。

解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。

一、抽象函数的定义域

例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定义域。

解析：由由a＞0

知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。

二、抽象函数的值域

解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。解析：因为函数y=f(3x+

2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+

1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+

2)的值域也为[-1，1]。

三、抽象函数的奇偶性

四、抽象函数的对称性

例3已知函数y=f(2x+

1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为（）

A、 2 B、 0 C、 1 D、不能确定

五、抽象函数的周期性

例

4、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )

(A) 是偶函数 (B) 是奇函数

解: ∵与都是奇函数，，

函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D

定理1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)=f (x－b)，则y=f (x) 是以T=a＋b为周期的周期函数。

定理2.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)= －f (x－b)，则y=f (x) 是以T=2（a＋b）为周期的周期函数。

定理3.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b （a≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b－a)为周期的周期函数。

定理4.若函数y=f (x)的图像关于点（a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=2(b－a)为周期的周期函数。

定理5.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b－a)为周期的周期函数。性质2：若函数f(x)满足f(a－x)= － f(a＋x)及f(b－x)=－ f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b).

特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.

性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)= － f(b＋x) (a≠b,ab≠0)，则函数有周期4(a－b).

特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。

从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。

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