数学思想方法在教学中的渗透

《线段、射线、直线》是新编人教版四年级和七年级都涉及到的教学内容。从课程标准来看，本课是图形与几何中图形的知识体系。教学目有三个：一是结合实例了解线段、射线、直线的概念，并了解线段、射线、直线的区别与联系;二是体会两点之间线段最短的原理，知道两点之间的距离;三是合理地体验知识中蕴含的数学思想方法。因而在教学设计的过程中，教师应让学生充分感受数学知识学习的过程性特点，加深相关数学思想方法的体验与感悟。本文围绕该章节中蕴含的数学思想方法进行了习题设计。

用无限的思想帮助概念形成

问题1：直线、射线、线段都能度量吗？

问题2：过一点O可以画几条直线？几条射线？过两个点可以画几条直线？

分析：本节课从线段、射线、直线概念的形成入手，教师应该抓住“不可度量”这一关键特质，从而用无限思想区分线段、射线、直线的区别。在理解线段、射线、直线的特性时，经过一点可以画无数条直线，过一点出发可以画无数条射线等，便蕴含了无限的思想。

解答：直线和射线不能度量，线段可以度量。过一点可以画无数条直线与射线，过两点只能画一条直线，如图1。

用分类加强概念区分

问题3：下面的图形，哪些是直线？哪些是射线？哪些是线段？把序号标在相应的横线里。 是直线， 是射线， 是线段。

分析：由于线段、射线、直线概念不同，在授课中，为了区分概念，教师可以利用分类集合思想帮助学生进一步的了解三者之间的区别与联系。

解答：①②是直线，③是射线，④⑤是线段。

问题4：已知A、B、C村在同一条直线上，A村到B村的距离是8千米，C村到B村的距离是3千米，求线段A村到C村的距离。

分析：由于点C可能在线段AB上，也可能在线段AB外，因此需要分类讨论。

解答：当点C在线段AB上时，如图3所示，AC=AB-BC=5千米;当点C在线段AB外时，如图4所示， AC=AB+BC=11千米。因此线段A村到C村的距离为5千米或11千米。

用数形结合解决实际问题

问题5：小明、小华、小刚、小林四个同学见面后相互握手，若每人相互握手一次，一共需要握手几次？

问题6：小明周末到图书馆看书，从小明家到图书馆中途有两个客车停靠点。试问这辆客车有多少种不同的票价？售票员要准备多少种车票？

分析：为了降低难度帮助学生弄清题意，教师可以引导学生自己画图，借助图形的形象思维解答问题。利用数形结合的思想帮助学生建立数学模型。用线段上的点表示四个同学和四个车辆停靠点。学生每握手一次可以看成一条线段，两站之间的票价了可以看成一条线段，用线段的条数辅助学生确定握手次数问题和票价问题。但这两题的不同点，教师都要注意帮助学生区分，握手一次相当于两个相互之间都握手了，所以线段条数只算一次。票价是有方向的线段，条数要算两次。

解答：根据题意画出图5中的线段。可以有AC、AD、AB、CD、CB、DB共六条。因此问题5中四人相互握手次共需要6次。问题6中有6种不同的票价。但因为在这条路上往返时起点和终点正好相反，所以要准备12种车票。

用类比解决角个数问题

问题7：下面图形中有几个角？

分析：这类题目虽说有很直观的图形素材，但是在教学中发现学生对此类有关角的个数的题目建模没有用线段建模深刻，所以教师可以引导学生利用知识的类比迁移，把角的问题转化成熟悉的线段问题。

解答：此题可以先用学生熟悉的找线段条数来做个铺垫。找找上面线段的条数，通过类比帮助学生建模。线段有AB、AC、AD、BC、BD、CD。角有∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD、∠COD。

用方程解决线段比问题

问题8：点D、E在线段AB上，且都在AB中点的同侧，点D分AB为2：5两部分，点E分AB为4：5两部分，若DE=5厘米，则AB的长为 ？

分析：此题中只知道线段DE的长度。教师要引导学生利用线段的比来建立方程。

解答：由题意，得如图8所示，设AB=x，则，由，得，解得x=31.5，即AB=31.5厘米。

用归纳建模找规律

问题9：如图9，当直线上有5个点时有几条线段？6个点呢？N个点时有几条呢？

问题10：如图10所示，a、b、c与是同一平面内的两条相交直线，它们有3个交点，如果在这个平面内，再画第4条直线d ，那么这4条直线最多可有几个交点？如果在这个平面内再画第5条直线，那么这5条直线最多可有几个交点？由此我们可以猜想：在同一平面内n（n为大于1的整数）条直线最多可有几个交点？（用含n的代数式表示）。

分析：上面两个题目规律一样，只是知识呈现的背景不一样。对于这种找规律的题目，我们可以引导学生用列表建模的方法，通过数据变化的特点比较归纳出它们的规律。

有句话说得好，数学是锻炼思维的体操。学生学习数学的目的在于应用，而学生从学数学到用数学，其质的飞跃应该是由知识的累积过程转变为数学思想方法的运用。因此，教师课堂教学中要着眼长远，在教学设计上，要注意启发学生思维。在数学教学的过程中，教师要关注的不仅是学生知识掌握的多寡，更应关注的是在学习过程中学生数学思想方法的领悟和智慧的生成。