用导数法解决三角函数最值问题

导数是高中数学的重要内容，是历年高考必考的重要知识点，其应用十分广泛.本文将结合典型例题说明利用导数解决三角函数最值问题的几个技巧，以期对同学们有所帮助.

整体思想可以降低“设角”难度

例1 已知函数[f（θ）=sinθ-3cosθ][（0π4），]试求当[tanθ]为何值时，函数取最小值.

解析 [f（θ）=-cos2θ-（3-sinθ）（-sinθ）cos2θ]

令[f（θ）=0]，则[sinθ=13].

当[sinθ13]时，[f（θ）0].

当[sinθ13]时，[f（θ）0].

∴当角[θ]满足[sinθ=13]时，[f（θ）]最小.

例2 已知[f（α）=33-5cosαsinα]（[α∈（0，π2）]），试求当角[α]的余弦值为何值时，函数取最小值.

解析 ∵[f（α）=5-33cosαsin2α]，

∴令[y=0]得，[t=533].

当[t533]时，[y0].

当[t533]时，[y0].

∴[t=533]时，[y]取得最大.

∵[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数，

∴当[α]满足[cosα=533]时，[f（α）]最小.

点拨 整体法有个易错的地方，就是上面解法如果不添加“[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数”这句话，不考虑内层函数的单调性，我们是不是就会得出当[cosα=533]时，[f（cosα）]取最大呀？很明显函数[f（t）]应该在[（-1，533）]上单调递增，在[（533，1）]上单调递减，那么对函数[f（t）]来说，在[t=533]处只能取得极大值，而不是极小值，这就和题目要求的结果相悖.

事实上，这都是复合函数惹的祸，或者说就是余弦函数惹的祸.因为作为内层函数[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数，外层函数的单调性直接受到内层函数的影响，所以当角[α]满足[cosα=533]时，[f（α）]取得最小.

换元之后再求导可减少运算量

例3 求函数[y=sin2x+4sinx+32+sinx]最小值与最大值.

解析 设[t=2+sinx（1≤t≤3）]，

则[1+sinx=t-1]，[3+sinx=t+1].

=[（t-1）（t+1）t=t-1t]，[1≤t≤3].

故[y]在[t∈[1，3]]上是增函数.

∴当[t=1]时，[ymin=0].

当[t=3]时，[ymax=83].

点拨 对于本题，我们要直接求导也不是不可以，但是稍微难了.而上面的解法先换元再求导，可以大大地降低运算量.

以角度所在的区间作为函数单调区间

例4 已知[x]为锐角，求函数[y=63sinx+2cosx]的最值.

解析 因为[y=63sinx+2cosx]，

所以[y=-63cosxsin2x+2sinxcos2x=2sin3x-63cos3xsin2xcos2x].

当[y=0]时，解得[tan3x=33]，即[tanx=3].

又因为[x]是锐角，所以[x=π3].

当[0π3]时，[y0].

当[π3π2]时，[y0].

函数[y]在[（0，π3）]上单调递减，在[（π3，π2）]上单调递增，

因此，当[x=π3]时函数有最小值16，函数无最大值.

点拨 三角函数的单调区间一般使用弧度制，在确定单调区间之后，便可以确定函数的极值点，从而确定三角函数的最值，这一点和一般函数并没有二样.

将角度直接作为三角函数式子的一部分

例5 某园林公司计划在一块[O]为圆心，[R]（[R]为常数）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形[CMDC]区域用于观赏样板地，[ΔOCD]区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.

[草皮地][花木地][观赏样板地][草皮地]

（1）设[∠COD=θ]，[CMD=l]，分别用[θ]，[l]表示弓形[CMDC]的面积[S弓=f（θ），S弓=g（l）];

（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？

[S弓=g（l）=12R（l-RsinlR）].

设[g（θ）=5θ-10sinθ]， [θ∈（0，π）].

[g（θ）在θ∈（0， π3）]上为减函数.

[g（θ）0，cosθ12，g（θ）在θ∈（π3，π）]上为增函数.

当[θ=π3]时，[g（θ）]取到最小值，此时总利润最大.

所以当园林公司把扇形的圆心角设计成[π3]时，总利润最大.

点拨 一般来说，一个三角函数式中各个部分都应是三角函数，但是本题却部分出现了角度单列的现象. 其实不就是求导吗？一个角度其实就是一个自变量[x]，单独的[x]难道就不能求导了吗？当然本题要是写成[g（x）=x-2sinx]或许你就会了吧？

“设而不求”应对非特殊角极值点横坐标

例6 函数[y=sinθ（2cosθ+1）]在[[0，π3]]上取最大值时，[cosθ]的值.

解析 当[0π3]时，求导得，

令[y=0]得，[cosθ=33-18].

记区间[（0，π3）]上余弦值等于[33-18]的角为[θ0]（惟一存在）.

列表如下：

[[θ]＼[0， θ0]＼[θ0]＼[（θ0， π3）]＼[y]＼[+]＼0＼[-]＼[y]＼增函数＼极大值＼减函数＼]

所以当[θ=θ0]，即[cosθ=33-18]时，[y]取得最大.

点拨 本题和前面例题不同之处在于，极值点横坐标不是特殊的角度，不能直接表达单调区间.怎么办？遇到此类情形，因为这个极值点是存在的，但是我们最终又不需要求出这个横坐标，只需要对应的函数值，因此我们完全可以“设而不求”.

解析 [f（θ）=-3sinθ+cosθ2]，

函数[f（θ）]在[（0，θ0）]上单调递增，在[（θ0，π2）]上单调递减，所以函数[f（θ）]在[θ=θ0]处取最大值.

所以，[f（θ）]取最大值时，[tanθ]的值为[3517].

点拨 本题实际上可以用二倍角公式展开，再用二次函数解决的，这里仅仅为了熟悉“设而不求”的手段.