基于径向基函数逼近求解动力响应问题

摘要：本文径向基函数逼近的方法分析结构动力响应问题，采用配点法将求解域进行离散，结合可视化通用数值分析软件MATLAB进行编程计算得到方程的近似解析解。为结构动力响应分析提供一种新思路。

关键词：径向基函数；结构动力响应；配点法；数值解

引言

结构动力响应分析一直是学术界和工程界非常关心的问题，而问题解决的方法一直是国内外专家学者研究的焦点，至今尚无统一的标准。目前，大型结构分析方法主要以有限元法为主，在理论分析的基础上，大都需要再做模态实验进行验证，进行模态实验需要对庞大的数据分析，因此需要大量的人力、物力。这是一个现在广泛认同，但却无法回避的现实问题。寻找一种计算精确度高、计算效率好，并且能够减少或者避免进行模态实验的研究方法一直是国内外学者研究的奋斗目标。小波分析法作为近三十年来形成并发展起来的一种新的数学理论与数值工具已被广泛应用于信号分析、结构力学计算、等离子体物理化学工程和微分方程数值求解等众多领域。A.Kazemi Nasab等成功的将小波分析法用于求解Bratu和Troesch强非线性问题；刘小靖，王记增，周又和提出一种针对非线性梁弯曲问题的小波伽辽金求解方法。在此基础上，王记增等运用伽辽金方法定量分析了柔性梁的大挠度弯曲问题，通过将所得结果与其他方法所得结果比较，表明小波算法具有很好的数值精度，但是小波法存在需要将求解域进行分段然后将各段求解域逐步积分，随之产生累积误差，导致以后即使计算方法如何改善也不能克服这个固有缺陷。基于此，本文提出一种以径向基函数逼近为核心，结合加权余量配点法的结构动力计算方法。

1、径向基函数介绍

数学的根本任务是用函数及其性质来表示自然界的事物，由于事物的复杂性，一般来说确切地描述事物的函数时不能用函数表达式来表示的。我们面对的函数表达式一般只是具体事物的一个逼近，也就是说，我们总是预先选定一个函数空间，然后利用事物的一些已知的信息在这个空间寻找一个尽可能描述该事物的函数。而径向基函数（radial basis function，简称RBF）是一种比较简单的多元函数、这个多元函数事实上是由一元函数生成的，或者说是事实上的一元函数。是处理多元问题的一种有效方法，其实质是通过定义在 上的一元函数 与 上的Euclid（欧几里得）范数 来表示 元函数 ，其中以点 到节点 的距离为自变量， .由于RBF具有形式简单、与空间维数无关、各向同性等优点，数学界已对其进行了大量的研究，成功地运用于多变量插值中。熊正超在博士学位论文中构造新的径向基核函数，并给出了基于新的核函数的拟插值以及相关的误差估计，理论估计说明新的拟插值公式提高了逼近的阶数。径向基函数起初内容大多在神经网络方面，许楠、刘丽杰建立径向基函数混沌神经网络模型以及径向基函数混沌神经元模型，分析其产生混沌后收敛的原因。大连理工大学的李刚、孟增开始将径向基函数神经网络运用于结构可靠度的分析中，运用径向基函数分析结构问题目前已经变得越来越火热。大连理工大学的周林仁，欧进萍提出基于径向基函数响应面方法的参数型有限元模型修正方法，对某斜拉桥试验室物理模型进行有限元模型修正，在特征量误差上面有较好的改善。同济大学王莉华，褚福运，仲政运用径向基函数配点法成功克服了传统的配点法在求解动力学问题时会存在误差随时间积累的问题。近年来吴宗敏、Buhmann、Wendland等提出各自的正定紧支径向基函数，利于求解大型问题，为径向基函数用于结构分析提供了坚实的理论基础。徐绩青，李正良，吴林键等提出将“ 时间间隔”替换“空间距离”作为径向基函数的自变量，利用径向基函数逼近的思想，结合加权余量配点法，用于结构动力响应的数值分析，并且针对结构动力学的特点，发展了位移、速度、加速度联合插值的径向基函数表达式，提出了精密计算的概念和标准。

2、算法思路及算法实现

2.1 算法步骤

（1）、选择需要求解的方程；

（2）、确定计算区域和离散间隔大小，确定配点数目；

（3）、选择合适的正定径向基函数，其中各配点的支撑域半径以配点处时刻为中心，覆盖整个计算区间；

（4）、建立任意位置的径向基函数表达式；

（5）、对任意时刻位移的径向基函数表达式求一阶导数、二阶导数、三阶导数；

2.2 MATLAB编程实现

根据上面的计算步骤，本文利用可视化通用数值分析软件MATLAB来进行编程运算，无论是结构非线性问题还是常微分方程等都能得到非常好的计算结果。

3、结论及展望

结构动力响应分析计算方法目前主要分为空间离散和时间离散两种方法。空间离散现在主要采用有限元分析法，如果结构刚度太大将导致高频响应运算不准确，同时，许多应用软件不具备能量泛函分析功能；时间离散需要逐步积分，运算复杂。运用有限元方法进行分析时，需要以单元为基础，每次计算都需要剖分网格，工作量大。近年来配点法逐步得到发展，配点法具有实现简单、求解过程快的优点，其稳定性和收敛速度可以达到航空航天的要求，最近逐渐成为国外学者研究的新宠。相比较之下，国内研究在结构动力响应分析上面还相对较少，对于无网格法的运用还不是很成熟，大多尚停留在有限元方法层面，国外研究相对深入一些，目前可查阅的国内文献资料显示，这类方法运用在结构动力问题上的研究还相对较少，本文结合国内外参考资料，在MATLAB程序的帮助之下将无网格法做进一步阐述，希望能和其他感兴趣的学者做更加进一步的探讨研究。