探究三角形的等积分割线

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翻新时间：2013-12-18

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探究三角形的等积分割线

如何将一个三角形面积分割成两个相等的部分，是我们已熟知的问题，只要沿三角形的中线，即可把三角形分割成面积相等的两个部分，许多同学认为，这样的分割线只有三条，但是，这样的分割线到底有多少条呢？

问题1：请用一条直线，把△ABC分割为面积相等的两部分。

解：取BC的中点，记为点D，连结AD，则AD所在直线把△ABC分成面积相等的两个部分。

大家知道，这样分割线一共有三条，分别是经过△ABC的三条中线的直线，能把△ABC的面积分成相等两部分。除了这三条以外，还有很多种，并且对于△ABC边上任意一点，都可以找到一条经过这点且把三角形面积平分的直线。

问题2：点E是△ABC中AB边上的任意一点，且AE≠BE，过点E求作一条直线，把△ABC分成面积相等的两部分。

解：如图2，取AB的中点D，连结CD，过点D作DF∥CE，交BC于点F，则直线EF就是所求的分割线。

证明：设CD、EF相交于点P

∵点D是AB的中点

∴AD=BD ∴S△CAD=S△CBD

∴S四边形CAEP＋S△PED=S四边形DPFB＋S△PCF

又∵DF∥CE ∴S△FED=S△DCF（同底等高）

即：S△PED=S△PCF

∴S四边形CAEP=S四边形DPFB

∴S四边形CAEP＋SPCF=S四边形DPFB＋S△PED

即S四边形AEFC=S△EBF

由此可知，把三角形面积进行平分的直线有无数条，而

且经过边上任意一条直线，运用梯形对角线的特殊性质，很容易作出这样的分割线。

那么，这些分割线会不会交于某特定的一点呢？

大家知道，三角形的三条中线都把三角形分成面积相等的两个部分，而三条中线交于它的重心，如果这些分割线相交于一点，那么这点必定是三角形的重心。

问题3：已知：如图3，在△ABC中，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：S△AEF=S△ABC.

证明：延长AG，交BC于点D

∵点G是△ABC的重心

∴AG:AD=2:3

又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC

由本题可得：过AB边上的点E，经过重心G的直线，EF把三角形面积分为4:5两部分，直线EF并不是三角形的等积分割线。而根据问题2，可以找到一条过点E把三角形面积平分的一条直线，这条直线必不过重心G。

综上可知，三角形的等积分割线有无数条，而且任意给定边上一点，都可以作出相应的等积分割线，且只有一条，所有的分割线并不相交于三角形的重心。

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