翻新时间：2023-03-16
定积分热点探究
定积分的概念与理论是在解决实际问题的过程中，运用数学知识抽象概括后产生和发展起来的. 它的几何意义是表示曲边梯形的面积，物理意义来源于汽车行驶的路程. 注意实际应用问题，注意导数和其它函数问题的结合. 运用定积分的性质可以将较为复杂的求定积分问题转化为简单的求定积分问题，因此，在求定积分时应充分利用定积分的性质化简后再求解.
求定积分
例1 由直线[x=-π3，x=π3，y=0]与曲线[y=cosx]所围成的封闭图形的面积为（ ）
分析 找出[f（x）=cosx]的原函数为[F（x）=sinx]，从而解题.
解法一 由定积分知识可得，
[S=-π3π3cosxdx=sinx|π3-π3=32-（-32）=3].
解法二 余弦函数是偶函数，根据对称性得，
[S=20π3cosxdx=2sinx|π30=3].
答案 D
点拨 应用奇偶函数的对称性可以简化运算.
点拨 与绝对值有关的函数均可化为分段函数.分段函数在区间[[a，b]]上的积分可分成几段积分的和的形式.
变式2 计算下列定积分：
[=π4-12.]
求平面图形的面积的
例2 求[y2=x]与[x-2y-3=0]所围图形的面积.
点拨 求解时要灵活选择坐标系，积分变量. 由图形特点，适当选取积分变量对计算有很大影响，显然上述解法二简洁.
例3 函数[f（x）=sin（ωx+φ）]的导 函数[y=f（x）]的部分图象如图所示，其中，P为图象与[y]轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.
（2）若在曲线段[ABC]与[x]轴所围成的区域内随机取一点，则该点在[△ABC]内的概率为 .
分析 根据定积分知识求出曲边图形的面积，注意复合函数求导问题.
设[A，B]的横坐标分别为[a，b]，
曲线段[ABC]与[x]轴所围成的区域的面积为[S].
[S=abf（x）dx=f（x）ba=sin（ωa+φ）-sin（ωb+φ）=2.]
由几何概型知，该点在[△ABC]内的概率为
[P=S△ABCS=π22=π4].
分析 先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值.
令[S=4t2-2t=4t（t-12）（0≤t≤1）]，
所以当[t=12]时，[S]最小，且最小值为[14].
点拨 本题先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于定积分的题境中.
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