做功的几种求法

由于不同性质的力做功特点不一样，导致计算方法不同. 以下是常见的几种力做功的计算方法.

力和物体在力的方向上发生的位移是做功不可缺少的两个因素. 如果该力是恒力，则力所做的功就等于该力与力方向上位移的乘积. 解决此类问题，既可以分解力也可以分解位移.

例1 如图1所示. 水平面上一物体在与水平方向成[α]的拉力[F]作用下发生位移[s]，求力[F]所做的功.

图1

图2

图3

点拨 力做的功就等于这个力和这个力方向上位移的乘积，与别的因素无关，某个力所做的功并不一定等于物体动能的变化，因为物体动能的变化等于合外力对物体所做的功.

图4

解析 如图5所示，物体受四个力作用，重力[mg]、支持力[FN]、推力[F]、滑动摩擦力[Ff]

图5

在竖直方向上，有[FN=mg+Fsinα]

在水平方向上，有[Fcosα-Ff=ma]

且[Ff=μFN]

方法二，[WG=0]，[WN=0]，[WF=Fs cosα]=140J，[Wf=-Ffs=-91J]，所以合力所做的功[W合=WG+WN+WF+Wf=49J].

点拨 求合力的功究竟采用那一种方法因题而异. 如果题目中各个分力的功都容易求出，则可以先求各分力的功再求代数和;如果题目中所给条件容易求合力（如有质量、加速度），一般先求合力再求合力的功;如果题目中给出物体的初、末速度，就尽量应用动能定理求解.

[ 变力的功]

功的计算式[W=Fs cosα]只适用于求恒力做功，对求变力做功不适用，求变力功的方法很多，一般采用动能定理.

例3 如图6所示，质量为[m]的物块与转台之间的动摩擦因数为[μ]，物块与转轴相距[R]，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速转动，在这一过程中，摩擦力对物块做的功为（ ）

图6

A. 0 B. [2πμmgR]

C. [2μmgR] D. [μmgR2]

解析 首先要明确研究的过程是物块随转台由静止开始转动到匀速转动的过程，该过程物块的动能在不断地增大，而物块受到的重力和支持力不做功，则只有摩擦力对其做功. 物块的末动能就是转台开始匀速转动也是物块即将滑动时的动能，可认为此时是由最大静摩擦力（等于滑动摩擦力）提供向心力.

由牛顿第二定律，有[μmg=mv2R]

由动能定理，有[Wf=mv22-0]，则[Wf=μmgR2.] 选D项.

点拨 动能定理的应用非常广泛，除可计算变力的功外，还可计算耗散力作用下物体的位移. 因其只需考虑物体初、末状态的动能，而不需考虑过程的细节，因此优于牛顿运动定律.

给出重力就包含了一个隐含条件，即重力方向竖直向下. 竖直方向上的位移，通常称之为高度. 根据功等于力和该力方向上位移的乘积知，只要物体初、末位置高度差一定，重力做功就一定，即重力做功与物体通过的路径无关，只与物体初、末位置之间的高度差有关[WG=mgh].

例4 如图7所示，同一物体从A、B、C三个等高的不同形状的斜面顶端滑下，求三种情况下重力做功的大小关系.

图7

解析 根据重力做功特点可知，三种情况下重力做功相等，都是[W=mgh]. 即[WA=WB=WC.] 点拨 像重力、电场力等都属于保守力，保守力做功的特点是与物体通过的路径无关.

某物体在地面上直线滑行时，该物体所受滑动摩擦力和物体的位移总在同一条直线上方向相反. 这说明物体在整个运动过程中滑动摩擦力始终对它做负功，且滑动摩擦力的位移在数值上等于物体的路程，即使物体做曲线运动也适用，[Wf=Ff?s路].

例5 某物体质量为[m]，与水平地面间的动摩擦因数为[μ]，现用水平力将此物体沿一半径为[R]的操场推一周，求推力[F]至少做多少功.

解析 在上述过程中，即使物体的动能不增加也必须克服滑动摩擦力做功，所以推力[F]做的功至少等于克服滑动摩擦力做的功. 根据滑动摩擦力做功的特点[Wf=Ff?s路]，得[WF=Wf=μmg?2πR=2πμmgR].

而不是错误是认为位移[s=0]，则[WF=0].

点拨 滑动摩擦力和空气阻力等都属于耗散力，这类力做功的特点是物体在力方向上的位移等于物体通过的路程.

[练习]

图8

C. [P=P1]

2. 如图9所示，由电动机带动的水平传送带以速度为[v]=2.0m/s匀速运行，[A]端上方靠传送带料斗中装有煤，打开阀门，煤以流量为[Q]=50kg/s落到传送带上，煤与传送带达共同速度后被运至[B]端，在运送煤的过程中，下列说法正确的是（ ）

图9

A.电动机应增加的功率为100W

B.电动机应增加的功率为200W

C.在一分钟内因煤与传送带摩擦生的热为6.0×103J