奔福德定律及其在审计中的应用研究(1)

近年来国内外出现了许多审计失败丑闻，其原因固然很复杂，但现有审计技术和方法的局限性可能是其中最重要的因素之一。因此，在经济业务日益复杂多变，被审单位舞弊、欺诈手段日趋隐蔽的背景下，完善现有舞弊审计的理论水平和技术方法变得尤为重要。在过去20年里，国内外学术界和实务界就如何提高和改进审计师揭露财务舞弊的能力已开展了大量的研究，探索了一些统计与数值分析技术和方法。其中，奔福德定律(Benford's law)在侦查财务欺诈征兆方面具有一定的有效性。奔福德定律揭示了在满足特定条件情况下大量统计数据中阿拉伯数字1～9在数据首位出现的概率分布规律。笔者介绍了奔福德定律的理论内涵及其在审计中应用的理论和实践成果，并进一步探讨了在审计实践中应用奔福德定律的条件及应注意的问题。

一、奔福德定律的内涵

大约50年之后，美国通用电器的物理学家弗瑞克·奔福德(Frank Benford)又独立发现了这一现象并得出了和Newcomb一样的结论。他收集了很多数据进行分析来验证自己的假说，这些数据包含了尽可能多的种类和范围，数据的收集和整理花费了他7年的时间。他验证了总数为20229个的20组数字，其中包括篮球比赛的数字、河流的长度、湖泊的面积、各城市人口分布数字、在某一杂志里出现的所有数字等。弗瑞克·奔福德推导了奔福德定律的数学表达式，即数字的第一位上各个非0数字出现的概率，用公式

(1)表达如下：

根据公式

(1)，数字第一位上出现“1”的概率大约为30％，而出现“9”的概率仅为4．6％。把1，2，3……9分别代入式

(1)，所得结果如表1所示。

将这一分布规律用图表示则更加清晰，如图1所示。

1996年美国学者Hill从理论上对奔福德定律给出了满意的解释，并进行了严谨的数学证明(因其证明过程比较复杂，也不是本文探讨的重点，故不赘述)。

(二)奔福德定律的扩展后人又对奔福德定律做了大量的扩展研究，这些扩展主要包括：

(1)其他位置上数字的分布规律。Hill指出，数字第二位上出现1～9的概率从“0”依次到“9”也是降序排列的，但其依次下降的幅度远远小于第一位数字。进而又有人继续深入研究，从第二位拓展到第三位、第四位。Nigrini通过研究给出了从0～9每个数在数字的第一位至第四位上出现的概率的数表，通过该数表可以查出数字0～9在随机数第一位至第四位上出现的概率。

(2)数字分布的条件概率。有人研究了将第一位和第二位上出现的数字联系起来考虑的情况，即条件概率，因为人们发现各个位置上数字出现的概率不是相互独立的。

(3)度量单位变化的情况。数学家Pinkham的研究证明了奔福德定律不受度量单位的影响。他指出如果某一系列数字很好地吻合了奔福德定律，并且这些数字符合持续增长的规律，那么无论它们使用什么度量单位，都依然遵循奔福德定律。这一发现很好地解释了为什么不同国家、不同货币的财务数据都遵循奔福德定律。另外一个有趣的现象是：一组符合奔福德定律分布的数字，它们的倒数依然符合奔福德定律分布。

二、奔福德定律在财务领域的适用性分析

(一)适用奔福德定律的财务数据种类Raimi和Boyle(19

9

4)都曾指出，把来源不同的数字混合起来，或者进行加、减、乘、除的运算之后，就往往符合奔福德定律分布。这很好地解释了为什么很多财务数据符合奔福德定律，因为财务数据具有该特点，如销售收入、成本、费用类、往来款项类数据。举例来说，应收账款是销售数量和价格的乘积，而销售数量和价格分别具有不同来源，再如应付账款、销售成本等，也是同样的道理。另外，账户中所记载的交易笔数也很重要。因为数据的样本量越大，分析的结果就越精确。

(二)不适用奔福德定律的财务数据种类 一些人为限制因素很多的会计数据往往不符合奔福德定律分布，如担保账户、支票金额、商品和服务价格、ATM取款数额等，通常都不符合奔福德定律分布。

三、审计应用奔福德定律的理论分析

(一)奔福德定律与现有审计理论体系的关系现有的舞弊侦查的方法主要有分析性复核法、交易实质分析法、期后事项分析法、税项分析法、资产质量分析法、奇异分析法等。 分析性复核有很多优点，概括地说就是降低审计成本，提高审计效率，保证审计的工作质量。分析性复核利用企业信息问的内在关系来判断数据的合理性，利用审计人员的经验和以前所收集的合理标准，对照分析被审计单位提供的资料和信息，从中发现异常的变动、不合理的趋势或比例，以此作为控制审计风险的要点，降低审计风险往往有事半功倍的效果，能节约时间，且能发现详细抽样技术所不能找出的异常现象，这是其他的审计方法所难以达到的。同时，分析性复核可以充分发挥审计师已有的经验 和工作创造力，并充分利用现有的计算机技术。

奇异分析法则重在特别关注财务资料中奇异的数字、时间、地点、交易以及例外的和不合常理的情况。

对比来看，奔福德定律的应用和上述舞弊侦查方法中的分析性复核法与奇异分析法都有异曲同工之处。从应用环节和特点来说，奔福德定律的应用应该归入分析性复核方法当中。将奔福德定律应用于审计领域，虽然从具体方法上看是一种创新，但从理论体系来看，并没有脱离分析性复核的方法体系，只不过它是利用了数学上的新的统计工具，发展出了一种新的数值分析方法，分析的仍然是数据之间的内在逻辑关系，当然，它的分析角度和以往的分析性复核方法不同，现有的分析性复核方法多是从财务数据的内在勾稽关系和财务上的逻辑合理性的角度出发，而奔福德定律的数值分析方法是从统计学的角度检测鲜为人知的数字分布的内在数学规律。相对于传统方法而言，这种全新的方法是一种很好的补充，这也给财务舞弊者造假增加了新的困难。所以说，奔福德定律是对现有的分析性复核方法的补充和完善。

(二)奔福德定律在我国审计领域应用的可行性和必要性分析我国《审计署2003至2007年审计工作发展规划》提出，大力推广先进审计技术方法，积极探索信息化环境下新的审计方法，促进提高审计工作效率和质量。可见，不断丰富和发展现代审计理论及方法已成为审计界关注的焦点。

从可行性角度看，大部分财务数据符合奔福德定律所揭示的分布规律，这是奔福德定律在审计领域应用的理论基础。国外许多研究成果和实践应用也验证了奔福德定律在审计领域应用的可行性。审计是一项技术性很强的工作，就技术层面看，我国的审计与国外的审计使用的技术方法没有太大差别，所以在我国的审计实践中，同样可以应用奔福德定律。同时，计算机审计的普及为奔福德定律的应用创造了条件。从效率上看，应用奔福德定律耗时很短，只要熟悉计算机操作，审计人员一般只需要几分钟甚至几秒钟的时间就可以得出检验结果。这个检验结果同样可以打印输出到审计工作底稿上，附在相关科目分析性测试的工作底稿之后，作为分析性测试的一部分。

从必要性角度看，在审计领域引进奔福德定律，可以完善现有审计方法体系，丰富审计手段，使得审计的技术手段增添新的内容，给造假者进行财务舞弊增加更多困难，提高现有审计水平。将这一技术分析方法与审计师已有经验有机结合，凭借经验对敏感内容和敏感数字进行分析，可为财务舞弊行为提供预警信号。结合我国的审计现状来看，这种数值分析技术可以为审计实践增添一种有效的审计方法。

四、奔福德定律在审计中的应用案例及分析

银行存款日记账从总体上看与奔福德定律的吻合较好，但是不难发现以“5”开头的数字出现的概率与奔福德定律的分布差距较大，经过对银行日记账的检查分析发现，该企业与母公司之间有很多往来款项的转账，金额大多是500000元，这些金额大多是根据该企业与母公司之间的分包协议而支付给母公司的项目收入。当剔除这类数据后，剩下的数据就与奔福德定律的分布相当吻合了。对于审计所发现的项目收入转账，则提供了一个重要线索，就是该企业与母公司之间可能存在内部利润转移的行为，尤其当存在下列某一个或某几个前提时：母子公司分别纳税，而两者的所得税率不同；母公司或子公司为了使财务指标达到某一政策界限；母公司或子公司修饰利润的需要等。因此应对这一线索予以充分重视，进一步实施其它审计程序，重点跟踪，深入调查，判断其交易是否真实，转移价格是否合理，是否存在内部利润转移行为等。

现金日记账从总体上看与奔福德定律也吻合较好，只有以“5”开头的数字出现的概率与奔福德定律的分布差距较大，经过对现金日记账的检查分析，发现该企业预借的差旅费支出频繁，且大部分金额都是5000元。当剔除这类支出后，剩下的数据就与奔福德定律的分布相当吻合了。

[应用案例2]奔福德定律也非常适合用来对样本量大的原始财务数据进行检验。在本例中，采取模拟造假的方式，将造假数据与真实数据及理论分布值进行比较，来检验这种数值分析方法的效果。 从图4可以看出，真实财务数据的分布和奔福德定律分布最为接近，随机数据和摸拟数据都趋于平均分布。在编造的财务数据中，人们为使其看起来更像是“真”的，往往平均使用各个数字，首位数上也不例外，所以其分布往往趋于平均分布。非常有趣的是，人为编造的数据与计算机随机生成的数据的分布规律竟然惊人地相似，这对认识舞弊数据的分布规律有重要的指导意义。

当然，舞弊财务数据不一定都呈平均分布，通常与奔福德定律的差异很大，这往往能给审计人员检查舞弊行为提供一个有效的线索，以进一步实施其它审计程序。

五、应用奔福德定律的优缺点和应注意的问题

运用奔福德定律进行舞弊审计具有使用成本低，方法简便易行，保密性好等优点。其缺点它只能确定存在欺诈的可能性，并不能确保一定存在欺诈。另外，随着这种数值分析技术的广泛应用，对它了解的人越来越多，造假者会注意到这一规律，造假时也会加以考虑。不过，对于造假者来说，还有一个难以逾越的困难，因为应用奔福德定律进行数值分析时，需要拿到全部的数据，而造假者在造假时是不一定能通观全部数据。而且，他无从知道审计人员在分析时，是分析一个季度的数据，还是一个部门的数据，或是某个地区的数据。所以，确保造假数据不被奔福德定律的数值分析技术发现还具有相当难度，毕竟财务人员并非统计学专家。 一般来说，排除上述因素后，财务数据仍然和理论值差距较大，往往意味着存在舞弊行为或者其他人为调节的情况。如母子公司之间的收入、成本、费用转账问题，在大型的集团企业或上市公司中，这种情况是很常见的，为了美化或转移集团企业中上市公司的利润，集团间往往存在大量的频繁而又复杂的收入、成本、费用的结算，而且这些转移因为经过预先准备，往往都伴随着看似非常合理的合同或协议，审计人员往往难以找到切入点发现问题，使用奔福德定律进行检验不失为一个好办法，因为人为调节的收入、成本和费用很难符合理论分布。

著名的“二安”事件是个非常好的例子。安然公司的财务高管曾经在安达信任职，深谙安达信的审计程序，他知道安达信对于在审计确定的重要性水平之下的金额的交易是不予重视的，于是他将无数个关联企业交易化整为零，使得每项交易在资产负债表中都显得不重要，轻易地就逃过了CPA的眼睛。如果安达信在审计过程中使用数值分析技术，其数据的分布规律就会一目了然了。假设安达信计算出的重要性水平是300000美元的话，安然设计的关联交易一定存在大量介于200000～300000之间的数字，即以“2”开头的数字会很多。“二安”事件给我们审计人员带来了一系列极有价值的启示，其中非常重要的一条就是：审计师不能只关注所谓的审计重要性原则，而忽视能用计算机化整为零的新招。

六、奔福德定律的应用展望

奔福德定律已经在实践中发挥了越来越重要的作用，该定律仍然有广泛的应用前景等待人们去开发和利用，从财务领域看，至少可以从如下几方面展开其应用研究：

(1)将奔福德定律纳入审计理论方法体系。从奔福德定律的特点来看，如果将这一数值分析技术应用于审计实践，可将其归人审计学中的分析性测试方法，并将统计学的其它抽样方法一起纳入审计理论方法体系。

(2)将奔福德定律写入审计软件。国外同行已经根据奔福德定律编制了计算机审计软件，并应用到审计实践中，我国审计师应积极借鉴国外的成功经验。

(3)将奔福德定律应用在实证研究领域。一般来说，实证研究都要用到统计学方法，奔福德定律丰富了实证检验的手段。利用奔福德定律，可以验证许多经济现象。比如可以检验证券市场政策法规对企业财务数据的影响。在证券市场中，对企业首次发行股票、债券，以及增发、配股、sT(特别处理)等都有严格的限制条件，很多企业会小心地使财务数据符合政策界限的要求，用奔福德定律进行统计分析可以帮助发现数字背后隐藏的秘密，评价企业财务数据的质量，也可以给政府部门提供制定政策的依据。

(4)利用奔福德定律给企业内部管理提供信息。利用奔福德定律可以检验企业采购、生产、销售数据，成本、费用发生额数据是否符合正常分布规律，是否出现数据的异常分布，可以给企业内部管理提供有效的事前预测和事中控制信息。首先，可以更合理地预测资金流动，更好地筹集和调拨资金。其次，企业内部审计人员也可以充分利用这一技术，实施内部审计。