浅谈解决变量问题的一种常见方法

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翻新时间：2023-04-21

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浅谈解决变量问题的一种常见方法

微元法是高中物理中的一种基本方法，许多问题都用它来处理，但学生由于在高中阶段对微元及微积分的概念了解的不是很透彻，因此在用微元法处理一些物理问题时会遇到很大的问题.针对这种情况笔者认为在高中阶段的教学中，鉴于高中生对微分思想还不够深入，在处理实际问题时，可以不用微分思想解决的问题，我们可以尽量的回避.可以引导学生用更加容易接受的平均值思想来解决，特别是在许多磁场的问题中，用平均值思想就使学生容易接受得多.下面我们就用一些实际例子来说明这一问题.

问题一电量的计算

例1如图1所示，有一匀强磁场，磁感应强度为B，一边长为L的正方形线框与磁场左边界重合，其匝数为N，总电阻为R.以一定的初速度进入该磁场，求在此过程中通过线框的电量？

析该线框进入磁场的过程中由于受安培力的作用，它将做减速运动，因此线框中的电流是变化的，所以我们将用平均值进行处理.

例2如图2所示，光滑的水平轨道间距为L，磁感应强度为B，电源电动势为E，内阻为r电容器电容为C，一根质量为m的导体棒电阻为R，初始时刻静止.求：把开关从左掷向右后导体棒的稳定速度v为多大？

析开关在左边时，电源对电容器充电.当开关打到右边时.电容器放电，导体棒中有变化的电流，它受安培力作用做加速运动，与此同时电容器电量减小，电压降低，直到与导体棒中的电动势相等时，电路中无电流，导体棒做匀速运动.导体棒在此运动过程中做加速度减小的加速运动，因此无法用匀变速运动公式进行求解，只能用平均值求解.

例3如图3所示，有一根竖直放置的足够长的绝缘细杆，在其空间有水平方向的匀强磁场B，有一个质量为m，带电量为+q的小球，它套在细杆上，与细杆间的动摩擦因数为μ，小球由静止释放，经过时间t小球速度达到v.求小球由开始到达到v速度时小球运动的位移.

析小球在下滑过程中竖直方向受重力和滑动摩擦力的作用，但由于弹力等于洛伦兹力，而洛伦兹力与速度有关，因此小球下滑是加速度不断减小的加速运动.所以本题中的位移就不好用匀变速运动的位移公式进行求解.只能用动量知识进行求解，且要滑动摩擦力对时间的平均值进行求解.

例4如图4所示，在水平面上有两根固定导轨其间距为d，在其间有竖直向下的匀强磁场B，其右端接有一电阻R.有一根质量为m导体棒以初速度为v0的速度滑上导轨，经过时间t，导体棒静止.在运动过程中导体棒与导轨始终接触良好，它与导轨的动摩擦因数为μ，导轨及导体棒电阻忽略不计，求在导体棒整个运动过程中所产生的焦耳热.

析首先通过分析可知由于导体棒受摩擦力及安培力的共同作用，导体棒做加速度逐渐减小的减速运动，直至最终停止.整个过程中由于导体棒克服安培力做功，因此产生焦耳热.由于物体在做变速运动，安培力是变力，因此通过安培力做功来计算焦耳热无法顺利进行.我们只能通过能量守恒来解决，而这样解的关键是要解决由于摩擦所产生的内能问题，而这只要解决从开始到静止导体棒所走过的位移即可.

当然，平均值法能解决许多变量的问题，特别是解决磁场问题中的变量问题时显得快速简洁得多.但平均值法只是微元法的一种变通，它不能解决所有的问题，对于有些问题平均

值法也显得无能为力的，这时我们就必须用微分思想来解决.而且在用平均值解决实际问题时一定要注意对哪个量取平均，其中最常见的是对时间取平均和对位移取平均.以上我们介绍的都是对时间取平均，但有些时候是对位移取平均，我们要注意区分.

例5如图5所示，一根弹簧处于原长状态，其劲度系数为k，现在用一水平拉力缓慢的将弹簧拉长x，求在此过程中拉力做的功.

析此问题中，拉力是变力，它始终与弹簧的弹力等值反向.因此这是个变力做功问题.我们可用平均力来进行计算，但注意该力的平均值要取对位移平均.由于该力与位移成线性关系，因此力对位移取平均等于初末的平均值.