“构造函数”在导数中的应用

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翻新时间：2023-05-01

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“构造函数”在导数中的应用

构造函数是处理导数题的重要方法，也是解决导数的重要途径，通过不断地构造函数把遇到的“拦路虎”一个个地克服掉，最终解决这类问题.通过一题多解让我们打开思维的闸门，也使我们的思维得到了训练，因此我们在平时练习中要能够体会构造函数的数学价值.

例已知函数[f（x）=lnx-a（x-1）]，[a∈R].当[x≥1]时，[f（x）]≤[lnxx+1]恒成立，求[a]的取值.

令[g（x）=xlnx-a（x2-1）（x≥1），]

[∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0].[f（x）≥lnxx+1.]

（2）若[00，]

（3）[若a≥12，F（x）≤0在1，+∞上恒成立，]

[∴g（x）在[1，+∞）上递减，g（x）≤g（1）=0，f（x）-lnxx+1≤0.]

[综上所述，a 的取值范围是 12，+∞].

解法2 [当x≥1时，f（x）≤lnxx+1恒成立等价于][lnx-][lnxx+1≤a（x-1）].

[令h（x）=lnx-lnxx+1=xlnxx+1， g（x）=a（x-1）]，

[∵x≥1， ][∴h（x）0，即h（x）在1，+∞上是增函数.]

[g（x）=a，∵当a0时，∴g（x）在1，+∞上是增函数.]

[又∵h（1）=g（1）=0]，

解法3 [当x≥1时，f（x）≤lnxx+1恒成立等价于lnx-][lnxx+1≤a（x-1）]，

[（1）当x=1时，显然恒成立，∴a∈R].

[∵x1，∴h（x）0，那么h（x）在（1，+∞）上是减函数.∴h（x）

[∴g（x）0，有g（x）

[综上所述，a的取值范围是12，+∞.]

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