高中数学竞赛讲座 16不等式

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高中数学竞赛讲座 16不等式

竞赛讲座16

－不等式

不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

一、不等式证明的基本方法

1．比较法

比较法可分为差值比较法和商值比较法。

（1）差值比较法

原理 A－ B＞0A＞B．

【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：

（a＋b）（a＋b）＜2（a+b）。 mmnnm+nm+n

（2）证明：··≤。

【例2】设a1≤a2≤ ≤an，b1≤b2≤ ≤bn，j1,j2, ,jn是1,2, ,n的任意一个排列，令

S=a1+ a2+ + an，S0=a1bn+a2bn-1+ +anb1，S1=a1b1+a2b2+ +anbn。

求证：S0≤S≤S1。

（2）商值比较法

原理若

>1，且B>0，则A>B。

【例3】已知a,b,c>0，求证：abc≥abc。

2．分析法 2a2b2cb+cc+aa+b

【例4】若x,y>0，求证：>

4。 44222222【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a+b+c<2(ab+bc+ca)。

3．综合法

【例6】若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。

【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令 S=

求证：t>S。

4．反证法，t=。

【例8】已知a+b=2，求证：a+b≤2。

5．数学归纳法 33

【例9】证明对任意自然数n，

二、不等式证明的若干技巧。

无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。

1．变形技巧

【例1】若n∈N，S=++···+，

求证：n<S<n+1。

【例2】（1）若A、B、C∈[0，π]，求证： sinA+sinB+sinC≤3sin。

（2）△ABC的三内角平分线分别交其外接圆于A‘,B’,C‘，求证：S△ABC≤S△A’B‘C’。

2．引入参变量

【例3】将一块尺寸为48×70的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体铁盒，求铁盒的最大容积。

222222【例4】在△ABC中，求证：a+b+c≥4△+(b-c)+(c-a)+(a-b)。

其中，a,b,c是△ABC的三边长，△= S△ABC。

3．数形结合、构造

【例5】证明：4．递推 ≤。

【例6】已知：x1=

三、放缩法，x2=，···，xn=。求证：。

【例1】若n∈N，n≥2，求证：。

【例2】α、β都是锐角，求证：≥9。

【例3】已知：a1≥1，a1 a2≥1，···，a1 a2···an≥1，求证：

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。

【例4】S=1+++···+，求S的整数部分[S]。

【例5】设a0=5，an=an-1+

，n=1,2,···。求证：45<a1000<45.1。

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