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第一章 集合与函数概念

上传者:刘清饶
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上传时间:2017-06-07
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第一章 集合与函数概念

  一、选择题

  1.已知全集U={0,1,2}且UA={2},则集合A的真子集共有( ). A.3个

  B.4个

  C.5个

  D.6个

  2.设集合A={x|1<x≤2},B={ x|x<a},若A?B,则a的取值范围是( ). A.{a|a≥1}

  B.{a|a≤1}

  C.{a|a≥2}

  D.{a|a>2}

  A,3.A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且A?B?则m的取值集合是( ).

  1??1

  -? A.?,

  2??3

  11???11?11? -, ? C.? ? B.?0, D., ??,?0,32?32???2??3

  4.设I为全集,集合M,N,P都是其子集,则图中的阴影部分表示的集合为( ). A.M ∩(N∪P) B.M ∩(P ∩IN)

  C.P ∩(IN ∩IM )

  (第4题)

  D.(M ∩N)∪(M ∩P)

  y-3?

  5.设全集U={(x,y)| x∈R,y∈R},集合M=?=1?, ?(x,y)|

  ?

  x-2

  ?

  P={(x,y)|y≠x+1},那么U(M∪P)等于( ).

  A.? C.(2,3)

  B.{(2,3)}

  D.{(x,y)| y=x+1}

  6.下列四组中的f(x),g(x),表示同一个函数的是( ). A.f(x)=1,g(x)=x C.f(x)=x2,g(x)=(x)4 7.函数f(x)=A.y轴对称

  x2

  B.f(x)=x-1,g(x)=-1

  x

  D.f(x)=x3,g(x)=x9

  1

  -x的图象关于( ). x

  B.直线y=-x对称 D.直线y=x对称

  C.坐标原点对称

  1

  8.函数f(x)=(x∈R)的值域是( ).

  1+xA.(0,1) B.(0,1] C.[0,1)

  D.[0,1]

  9.已知f(x)在R上是奇函数,f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=

  第 1 页 共 8 页

  ( ).

  A.-2 B.2 C.-98 D.98

  10.定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数;偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式:

  ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);

  ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).

  其中成立的是( ).

  A.①与④

  二、填空题

  11.函数y?x?1?x的定义域是.

  12.若f(x)=ax+b(a>0),且f(f(x))=4x+1,则f(3)=.

  13.已知函数f(x)=ax+2a-1在区间[0,1]上的值恒正,则实数a的取值范围是 .

  14.已知I={不大于15的正奇数},集合M∩N={5,15},(IM)∩(IN)={3,13},M ∩(IN)={1,7},则M=N=

  15.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且B≠?,若A∪B=A,则m的取值范围是_________.

  16.设f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+x3),那么当x∈(-∞,0]时,f(x)=

  三、解答题

  17.已知A={x|x2-ax+a2-19=0},B={ x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},且?(A∩B),A∩C=?,求a的值.

  18.设A是实数集,满足若a∈A,则 B.②与③ C.①与③ D.②与④ 1 A. ∈A,a≠1且11-a

  (1)若2∈A,则A中至少还有几个元素?求出这几个元素.

  第 2 页 共 8 页

  (2)A能否为单元素集合?请说明理由.

  (3)若a∈A,证明:1-

  19.求函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值.

  1∈A. a

  第 3 页 共 8 页

  20.已知定义域为R的函数f(x)=

  (1)求a,b的值; -2x+b2+a是奇函数.

  (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.

  第 4 页 共 8 页

  参考答案

  一、选择题

  1.A

  解析:条件UA={2}决定了集合A={0,1},所以A的真子集有?,{0},{1},故正确选项为A.

  2.D

  解析:在数轴上画出集合A,B的示意图,极易否定A,B.当a=2时,2 B,故不满足条件A?B,所以,正确选项为D.

  3.C

  解析:据条件A∪B=A,得B?A,而A={-3,2},所以B只可能是集合?,{-3},{2},所以,m的取值集合是C.

  4.B

  解析:阴影部分在集合N外,可否A,D,阴影部分在集合M内,可否C,所以,正确选项为B.

  5.B

  解析:集合M是由直线y=x+1上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合P是坐标平面上不在直线y=x+1上的点组成的集合,那么M ?P就是坐标平面上除去点(2,

  3)外的所有点组成的集合.由此U(M ?P)就是点(2,3)的集合,即U(M ?P)={(2,3)}.故正确选项为B.

  6.D

  解析:判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同,选项A,B,C中,两函数的定义域不同,正确选项为D.

  7.C

  解析:函数f(x)显然是奇函数,所以不难确定正确选项为C.取特殊值不难否定其它选项.如取x=1,-1,函数值不等,故否A;点(1,0)在函数图象上,而点(0,1)不在图象上,否选项D,点(0,-1)也不在图象上,否选项B.

  8.B

  解析:当x=0时,分母最小,函数值最大为1,所以否定选项A,C;当x的绝对值取值越大时,函数值越小,但永远大于0,所以否定选项D.故正确选项为B.

  第 5 页 共 8 页

  9.A

  解析:利用条件f(x+4)=f(x)可得,f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1),再根据f(x)在R上是奇函数得,f(7)=-f(1)=-212=-2,故正确选项为A.

  10.C

  解析:由为奇函数图像关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称,函数f(x),g(x)在区间[0,+∞)上图象重合且均为增函数,据此我们可以勾画两函数的草图,进而显见①与③正确.故正确选项为C.

  二、填空题

  11.参考答案:{x| x≥1}.

  解析:由x-1≥0且x≥0,得函数定义域是{x|x≥1}.

  12.参考答案:19. 3

  解析:由f(f(x))=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,所以a2=4,ab+b=1(a>0),解得

  1911a=2,b=,所以f(x)=2x+,于是f(3)=. 333

  ?1? 13.参考答案:?,+∞ ?. ?2?

  解析:a=0时不满足条件,所以a≠0.

  (1)当a>0时,只需f(0)=2a-1>0;

  (2)当a<0时,只需f(1)=3a-1>0.

  ?1? 综上得实数a的取值范围是?,+∞ ? . 2??

  14.参考答案:{1,5,7,15},{5,9,11,15}.

  解析:根据条件I={1,3,5,7,9,11,13,15},M∩N={5,15},M∩(IN)={1,7},得集合M={1,5,7,15},再根据条件(IM)∩(IN)={3,13},得N={5,9,11,15}.

  15.参考答案:(2,4].

  -2?m+1≥?解析:据题意得-2≤m+1<2m-1≤7,转化为不等式组?m+1<2m-1,解得m的取

  ?2m-1≤ 7?

  值范围是(2,4].

  16.参考答案:x(1-x3).

  第 6 页 共 8 页

  解析:∵任取x∈(-∞,0],有-x∈[0,+∞),

  ∴ f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3),

  ∵ f(x)是奇函数,∴ f(-x)=-f(x).

  ∴ f(x)=-f(-x)=x(1-x3),

  即当x∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为f(x)=x(1-x3).

  三、解答题

  17.参考答案:∵B={x|x2-5x+6=0}={2,3},

  C={x|x2+2x-8=0}={-4,2},

  ∴由A∩C=?知,-4 A ,2 A;

  由?(A∩B)知,3∈A.

  ∴32-3a+a2-19=0,解得a=5或a=-2.

  当a=5时,A={x|x2-5x+6=0}=B,与A∩C=?矛盾.

  当a=-2时,经检验,符合题意.

  18.参考答案:(1)∵ 2∈A,

  11==-1∈A; 1-a1-2

  111∴==∈A; 1-a1+12∴

  ∴11==2∈A. 1-a1-2

  因此,A中至少还有两个元素:-1和

  (2)如果A为单元素集合,则a=

  实数范围内,A不可能是单元素集.

  (3)证明: a∈A?1. 21,整理得a2-a+1=0,该方程无实数解,故在1-a1-a111∈A? ∈A?∈A,即1-∈A. 11-aa1-a+11-1-a

  2a?a2?19.参考答案: f(x)=2?x-?+3-. 2?2?

  (1)当a<-1,即a<-2时,f(x)的最小值为f(-1)=5+2a; 2

  aa2?a?(2)当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,f(x)的最小值为f??=3-; 22?2?

  第 7 页 共 8 页

  (3)当a>1,即a>2时,f(x)的最小值为f(1)=5-2a. 2

  a<-2,?5+2a,

  ???a2

  综上可知,f(x)的最小值为?3-, -2≤a≤2,2??5-2a, a>2.??

  20.参考答案:(1)∵函数f(x)为R上的奇函数, ∴ f(0)=0,即-1+b=0,解得b=1,a≠-2, 2+a

  . 从而有f(x)=-2x+1

  2+a

  1-+1-2+1又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2. 1+a4+a

  (2)先讨论函数f(x)=-2x+1

  2x+1+2=-11+x的增减性.任取x1,x2∈R,且x1<x2,22+1

  , f(x2)-f(x1)=1

  2+1x2-12+1x1=2x1-2x2(2+1)(2+1)x2x1

  ∵指数函数2x为增函数,∴2x1-2x2<0,∴ f(x2)<f(x1), ∴函数f(x)=-2x+1

  2x+1+2是定义域R上的减函数.

  由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0得f(t2-2t)<-f(2t2-k), ∴ f(t2-2t)<f(-2t2+k),∴ t2-2t>-2t2+k (?). 由(?)式得k<3t2-2t.

  1?1111? -?.又3t2-2t=3(t-)2-≥-,∴只需k<-,即得k的取值范围是?-∞, 33333??

  第 8 页 共 8 页

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