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高中数学竞赛讲座 11三角运算及三角不等式

上传者:李仕勇
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上传时间:2015-04-15
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高中数学竞赛讲座 11三角运算及三角不等式

竞赛讲座11

――三角运算及三角不等关系

三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理(和、差、倍、半角公式等的统称),对三角式作各种有目的的变形(主要指恒等变形),有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。由于三角公式很多,并且存在着联系,因此一定要注意选择公式的目的性与简单性。

三角运算

一.三角运算的常规思考

三角运算主权涉及3个主要变形:角、函数名称、运算方式。其中的难点与关键在角。大量的三角运算技巧都与角的处理有关。遇到一个三角问题,从角、函数名称、运算方式这3个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。特别地,对于证明题,从找条件与结论的差异入手,并向着消除差异的方向前进,常能成功。

例1.已知 , 都是钝角,且sin

例2.设 , 为锐角,且sin

2123,cos( ) ,求sin 135 sin2 sin( ),求证: 2。

二.三角变换与方程

数学公式(或条件等式)本身就是一个等量关系,视公式(或等式)中的数学对象为已知值或未知值就成为一个方程。

例3.已知

三.三角变换与构造法

通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题

例5.求cos

例6.求值:cos10 cos50 sin40 sin80

例7.已知:A1cos 1 A2cos 2 Ancos n 0

22 sin sin b22(a b 4),求sin( ),cos( )。 cos cos a2 4 cos的值。 55

A1cos( 1 1) A2cos( 2 1) Ancos( n 1) 0

求证:对任意 R,恒有A1cos( 1 ) A2cos( 2 ) Ancos( n ) 0。

例8 求满足等式 12cosx 7 43sinx 4的锐角x。

四.三角法

引进三角函数,进行三角变形去解决其他代数、几何问题。

2aba ba2 b2

例9.已知a b 0,求证:。 ab a b22

例10.在△ABC中,P为形内一点,PD、PE、PF为P到三边BC、CA、AB的距离,求证:PA PB PC 2(PD PE PF)

例11.求函数y x 4 3x的值域。

三角不等关系

这是一个与三角恒等变形密切相关的问题,主要包括两个方面:三角不等式与三角最值。这两个方面在处理方法上在同小异,并互为所用。

一.三角不等式的证明

证明三角不等式注意3点:

(1)三角不等式首先是不等式,因此,不等式的有关性质和证明方法在这里都用得上。

(2)三角不等式又有自己的特点——含三角函数,因而,三角函数的单调性、有界性(或极值),正负区间,图像特征都是处理三角不等式的锐利武器。

(3)三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式,无论在结构上还是在证法上都有特别之处,需要加倍注意。

例12.若0 ,求证:sin

例13.已知0 ,证明:2sin2 ctg

11sin2 sin3 0 23 2,并讨论等号成立的条件。

例14.已知 , (0,

例15.在△ABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,求证:

例16.在锐角△ABC中,求证

(1)sinA sinB sinC cosA cosB cosC;(2)tgAtgBtgC 1

二.三角最值的求解

例17.求函数f(x) asinx bsinxcosx xcosx的最大值、最小值(a c,b 0)

22 2),能否以sin ,sin ,sin( )的值为边长,构成三角形。 aA bB cC 。 a b c3

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