高中数学竞赛讲座 11三角运算及三角不等式

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高中数学竞赛讲座 11三角运算及三角不等式

竞赛讲座11

――三角运算及三角不等关系

三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目的性与简单性。

三角运算

一．三角运算的常规思考

三角运算主权涉及3个主要变形：角、函数名称、运算方式。其中的难点与关键在角。大量的三角运算技巧都与角的处理有关。遇到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式这3个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。特别地，对于证明题，从找条件与结论的差异入手，并向着消除差异的方向前进，常能成功。

例1．已知 , 都是钝角，且sin

例2．设 , 为锐角，且sin

2123，cos( ) ，求sin 135 sin2 sin( )，求证： 2。

二．三角变换与方程

数学公式（或条件等式）本身就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知值或未知值就成为一个方程。

例3．已知

三．三角变换与构造法

通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题

例5．求cos

例6．求值：cos10 cos50 sin40 sin80

例7．已知：A1cos 1 A2cos 2 Ancos n 0

22 sin sin b22（a b 4），求sin( )，cos( )。 cos cos a2 4 cos的值。 55

A1cos( 1 1) A2cos( 2 1) Ancos( n 1) 0

求证：对任意 R，恒有A1cos( 1 ) A2cos( 2 ) Ancos( n ) 0。

例8 求满足等式 12cosx 7 43sinx 4的锐角x。

四．三角法

引进三角函数，进行三角变形去解决其他代数、几何问题。

2aba ba2 b2

例9．已知a b 0，求证：。 ab a b22

例10．在△ABC中，P为形内一点，PD、PE、PF为P到三边BC、CA、AB的距离，求证：PA PB PC 2(PD PE PF)

例11．求函数y x 4 3x的值域。

三角不等关系

这是一个与三角恒等变形密切相关的问题，主要包括两个方面：三角不等式与三角最值。这两个方面在处理方法上在同小异，并互为所用。

一．三角不等式的证明

证明三角不等式注意3点：

（1）三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有关性质和证明方法在这里都用得上。

（2）三角不等式又有自己的特点——含三角函数，因而，三角函数的单调性、有界性（或极值），正负区间，图像特征都是处理三角不等式的锐利武器。

（3）三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式，无论在结构上还是在证法上都有特别之处，需要加倍注意。

例12．若0 ，求证：sin

例13．已知0 ，证明：2sin2 ctg

11sin2 sin3 0 23 2，并讨论等号成立的条件。

例14．已知 , (0,

例15．在△ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，求证：

例16．在锐角△ABC中，求证

（1）sinA sinB sinC cosA cosB cosC；（2）tgAtgBtgC 1

二．三角最值的求解

例17．求函数f(x) asinx bsinxcosx xcosx的最大值、最小值(a c,b 0)

22 2)，能否以sin ，sin ，sin( )的值为边长，构成三角形。 aA bB cC 。 a b c3

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