2005年度苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题

2005年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高 二 试 题

命题人： 薛祖坚

一、选择题（每小题5分，共40分）

1、动点P在抛物线y2??6x上运动,定点A(0,1)，线段PA中点的轨迹方程是( )．

A、(2y?1)2??12x B、(2y?1)2?12x

C、(2y?1)2??12x D、(2y?1)2?12x

?y?0y?1?,??2、实数x、y满足不等式组?x?y?0，则有( ) x?1?2x?y?2?0?

111 B、???? 323

11C、??? D、????1 22

3、直线y?x?m与抛物线x2?2y交于A、B两点，O为坐标原点，且OA?OB?0，则m的 A、?1???

值等于( ) A、1 B、－1 C、2 D、－2

4、在圆(x?3)2?(y?5)2?2的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有（ ）

A、4条 B、5条 C、6条 D、8条

5、方程(x?1)(y?1)?1(x?0)表示的曲线关于（ ）对称.

A、y?x B、y?x?2 C、y??x D、(?1,1)

6、平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点。那么满足不等式(|x|?1)2?(|y|?1)2?2的整点(x,y)的个数为( )个.

A、16 B、17 C、18 D、25

7、已知f(x)?(x?2005)(x?2006)的图象与x轴、y轴有3个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是（ ）

A、(0,1) B、(0,2) C

、 D

、 8、设x,y,z都是正数，则xy?2yz的最大值为（ ） x2?y2?z2

A、1 B、2 C

、 D

、25

1

二、填空题（每小题5分，共30分）

9、不论a,b为何值，直线ax?by?a?b?0过定点______________________.

10、若函数f(x)满足f(a?b)?f(a)f(b),且f(1)?1,则

于__________________. f(2)f(3)??f(1)f(2)?f(2005)的值等f(2004)

x2

?y2?1的右支上的动点，F是双曲线的右焦点，已知A(3,1)，则11、若P是双曲线3

|PA|?|PF|的最小值是_____________________________. 12、正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?11(an?)，则该数列的通项公式an=__________ 2an

x2?x?2x?1?2?(x?1)?0的解为____________________. 13、方程cos22

14、如果关于x的不等式|x?a|?|x|?|x?1|的解集为一切实数，那么实数a的取值范围是_____________________

一、选择题（每小题5分，共40分）

答题卷

二、填空题（每小题5分，共30分）

9、_________________ 10、__________________ 11、____________________

12、________________ 13、__________________ 14、____________________

2

三、解答题（每小题10分，共30分）

15、已知过点A(1,1)且斜率为?m(m?0)的直线l与x,y轴分别交于点P,Q，过P,Q作直线

2x?y?0的垂线，垂足为R,S. 求四边形PRSQ面积的最小值。

x2y2

16、椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，在此椭圆上是否存在点M，使|MF1| ab

是M到左准线的距离d与|MF2|的等比中项？若点M存在，求出离心率e的取值范围；若点M不存在，也求出离心率e的取值范围。

3

、设a0?5,an?an?1?

1

a,n?1,2,3,n?1

求证：45?a1000?45.1

4 17

2217、给定正整数n和正数M，对于满足条件a1?an?1?M的所有等差数列a1,a2,,an.试求

S?an?1?an?2?17、解：S??a2n?1的最大值。 a?an?1n?1n?1(an?1?a2n?1)?(an?1?an?1?nd)?(2an?1?n?n?11) 222n

n?1?(3an?1?a1) 2

2令a1?rcos?,an?1?rsin?(r?

M)

?S?n?1n?1n?1(3rsin??rcos?)??r(3sin??cos?)????

?) 222

1?其中tan???) 3

?1????arctan时，S

23 5