全国高中数学联赛模拟试题10

全国高中数学联赛模拟试题（十）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、设集合M={ 2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都

有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是 （A）45 （B）27 （C）15 （D）11 2、已知sin2 =a，cos2 =b，0＜ ＜

①

，给出tan 值的五个答案： 44

ba1 b1 a

； ②； ③； ④； 1 a1 baba b 1⑤． a b 1

其中正确的是：

（A）①②⑤ （B）②③④ （C）①④⑤ （D）③④⑤

3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，

则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A）64 （B）66 （C）68 （D）70

4、递增数列1,3,4,9,10,12,13, ，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，

或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A）729 （B）972 （C）243 （D）981

n 1 594m 15、C1（其中，[x]表示不超过x的最大整数）m C C Cnnnn 4

的值为 （A）2ncos

n

4

（B）2nsin

n 4

1 n （C） 2n 1 2ncos

2 4 1 n

（D） 2n 1 2nsin

2 4

6、一个五位的自然数abcde称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d

＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是

（A）8568 （B）2142 （C）2139 （D）1134

二、填空题：（每小题9分，共54分）

x2y2

1上任意一点P，1、过椭圆作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足），32

并延长PH到Q，使得HQ= PH（ ≥1）．当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是 ．

2、已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角 （0＜ ＜90°）的直线l，则这样的直线l的条数是f( )= ． 3、不等式

1

4x2 2x

2

2x 9的解集为 ．

4、设复数z满足条件|z i|=1，且z≠0，z≠2i，又复数 使得

2iz

为 z 2i

实数，则复数 2的辐角主值的取值范围是 ．

1111

，则2 a12 a22 a20022

5、设a1,a2, ,a2002均为正实数，且

a1a2 a2002的最小值是 ．

6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为

“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n（n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ．

三、（20分）

已知数列{an}是首项为2，公比为（1） 用Sn表示Sn+1；

（2） 是否存在自然数c和k，使得

1

的等比数列，且前n项和为Sn． 2

Sk 1 c

＞2成立． Sk c

四、（20分）

设异面直线a、b成60°角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线

段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动．求线段AB中点P的轨迹方程．

五、（20分）

已知定义在R+上的函数f(x)满足

（i）对于任意a、b∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)； （ii）当x＞1时，f(x)＜0； （iii）f(3)= 1．

现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)|f(p2+1) f(5q) 2＞0，p、q∈

p1

)+=0，p、q∈R+}．试问是否存在p、q，使2q

R+}，集合B={(p,q)|f(

A B ，说明理由．

第二试

一、（50分）

如图，AM、AN是⊙O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于

M、N的点，过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P．若

S⊙O

2 S△POQ，求证：∠POQ=60°．

P

Q

二、（50分）

已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1 an（n≥1）．求所有的正整数n，

使得1+5anan+1是完全平方数．

三、（50分）

设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点，其中p为素数．求

满足下列条件的直角三角形的个数：

（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点； （2） 三角形的内心是坐标原点．

参考答案

第一试

二、填空题：

3 1、 ,1 ；

3

0,0 30 1, 30

2、f 2,30 60 ；

3, 60 4,0 90

1 45

3、 ,0 0, ；

2 8

4

4、 , ；

3

5、4002

2002

；

1 10n 18n 1142

6、 ． 2 9763 （2）不存在．

三、（1）Sn 1

1

Sn 2； 2

x2

y2 1． 四、9

五、不存在．

第二试

一、证略；

二、n=3．

三、 p≠2,7,11,13时，324个；p=2时，162个；p=7,11,13时，180个．