全国高中数学联赛模拟试题8

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全国高中数学联赛模拟试题8

全国高中数学联赛模拟试题（八）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、设logab是一个整数，且loga

b a2； b

③0＜a＜b＜1；其中正确结论的个数是（A）1 （B）2

loga logba2，给出下列四个结论 b

①

②logab+logba=0； ④ab 1=0．（C）3

（D）4

a2 a 2b 2c 0

2、若△ABC的三边长a、b、c满足，则它的最大内角度

a 2b 2c 3 0数是

（A）150°

（B）120°

（C）90°

（D）60°

2b2x2y2

3、定长为l（l ）的线段AB的两端点都在双曲线2 2 1（a＞0，

aab

b＞0），则AB中点M的横坐标的最小值为（A）

al2a b

（B）

a l2a b

（C）

a l 2a 2a b

（D）

a l 2a 2a b

4、在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

5、设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x 4}是直角坐标平

x1 x2y1 y2

,面上的两个点集，则集合G= x1,y1 E, x2,y2 F 所22

组成的图形面积是

（A）6 （B）2 （C）6.5 （D）7

6、正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使D在面ABC外，这时DB与

面ABC所成的角一定不等于（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°

二、填空题：（每小题9分，共54分）

nis nis nis nis

的值等

24ocs4 ocs3 ocs3 ocs2 ocs2 ocs ocs

于．

111 2、1 ． 1 21 2 31 2 3 2004

3、在Rt△ABC中，AB＝AC，以C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的

另一个焦点在AB内，且椭圆过A、B点，则这个椭圆的离心率等于． 4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有种

不同的选法．

1、已知

，则

z z z a bi

5、设a、b均为正数，且存在复数z满足，则ab的最大值

z 1

等于．

8n7

对惟一的一个整数k成立的最大正整数n为．6、使不等式

15n k13

三、（20分）

已知实数x、y满足x2+y2≤5．求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y 3x 18|的最

大值与最小值．

四、（20分）

经过点M(2, 1)作抛物线y2=x的四条弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、

P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列．

求证：

P1MP2MP3MP4M

．

MQ1MQ2MQ3MQ4

五、（20分）

n为正整数，r＞0为实数．证明：方程xn+1+rxn rn+1=0没有模为r的

复数根．

第二试

一、（50分）

设C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆，点D、E、F分别是从

I出发垂直于边BC、CA和AB的直线C(I)的交点．

求证：AD、BE和CF三线共点．

二、（50分）

非负实数x、y、z满足x2+y2+z2=1．求证：1≤

xyz

≤2． 1 yz1 zx1 xy

三、（50分）

对由n个A，n个B和n个C排成的行，在其下面重新定义一行（比

上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n=2的一个例子．

A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A

求所有的正整数n，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．

参考答案

第一试

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二、填空题：

三、最大值27 6，最小值27 3．

四、证略．

五、证略．

1、

3； 3

2、

4008

； 2005

3、 3；

15、；

4、816； 6、112．

第二试

一、证略；

二、证略．

三、 n=1．

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