全国高中数学联赛模拟试题8
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全国高中数学联赛模拟试题8
全国高中数学联赛模拟试题(八)
第一试
一、选择题:(每小题6分,共36分)
1、设logab是一个整数,且loga
1
b a2; b
③0<a<b<1; 其中正确结论的个数是 (A)1 (B)2
1
loga logba2,给出下列四个结论 b
①
②logab+logba=0; ④ab 1=0. (C)3
(D)4
a2 a 2b 2c 0
2、若△ABC的三边长a、b、c满足 ,则它的最大内角度
a 2b 2c 3 0数是
(A)150°
(B)120°
(C)90°
(D)60°
2b2x2y2
3、定长为l(l )的线段AB的两端点都在双曲线2 2 1(a>0,
aab
b>0),则AB中点M的横坐标的最小值为 (A)
al2a b
2
2
(B)
a l2a b
2
2
(C)
a l 2a 2a b
2
2
(D)
a l 2a 2a b
2
2
4、在复平面上,曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
5、设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x 4}是直角坐标平
x1 x2y1 y2
,面上的两个点集,则集合G= x1,y1 E, x2,y2 F 所22
组成的图形面积是
(A)6 (B)2 (C)6.5 (D)7
6、正方形纸片ABCD,沿对角线AC对折,使D在面ABC外,这时DB与
面ABC所成的角一定不等于 (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
二、填空题:(每小题9分,共54分)
nis nis nis nis
的值等
24ocs4 ocs3 ocs3 ocs2 ocs2 ocs ocs
于 .
111 2、1 . 1 21 2 31 2 3 2004
3、在Rt△ABC中,AB=AC,以C为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的
另一个焦点在AB内,且椭圆过A、B点,则这个椭圆的离心率等于 . 4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数,使得没有两个数相邻,有种
不同的选法.
1、已知
,则
z z z a bi
5、设a、b均为正数,且存在复数z满足 ,则ab的最大值
z 1
等于 .
8n7
对惟一的一个整数k成立的最大正整数n为 .6、使不等式
15n k13
三、(20分)
已知实数x、y满足x2+y2≤5.求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y 3x 18|的最
大值与最小值.
四、(20分)
经过点M(2, 1)作抛物线y2=x的四条弦PiQi(i=1,2,3,4),且P1、P2、
P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列.
求证:
P1MP2MP3MP4M
.
MQ1MQ2MQ3MQ4
五、(20分)
n为正整数,r>0为实数.证明:方程xn+1+rxn rn+1=0没有模为r的
复数根.
第二试
一、(50分)
设C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆,点D、E、F分别是从
I出发垂直于边BC、CA和AB的直线C(I)的交点.
求证:AD、BE和CF三线共点.
二、(50分)
非负实数x、y、z满足x2+y2+z2=1. 求证:1≤
xyz
≤2. 1 yz1 zx1 xy
三、(50分)
对由n个A,n个B和n个C排成的行,在其下面重新定义一行(比
上面一行少一个字母),若其头上的两个字母不同,则在该位置写上第三个字母;若相同,则写上该字母.对新得到的行重复上面的操作,直到变为一个字母为止.下面给出了n=2的一个例子.
A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A
求所有的正整数n,使得对任意的初始排列,经上述操作后,所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同,要么两两不同.
参考答案
第一试
内容需要下载文档才能查看二、填空题:
三、最大值27 6,最小值27 3.
四、证略.
五、证略.
1、
3; 3
2、
4008
; 2005
3、 3;
15、;
8
4、816; 6、112.
第二试
一、证略;
二、证略.
三、 n=1.
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