全国高中数学联赛模拟试题1

上传者：陈志春
|
上传时间：2015-04-15
|
密次下载

全国高中数学联赛模拟试题1

全国高中数学联赛模拟试题（一）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是

（A）1 （B）3 （C）4 （D）5

x22、函数y （x∈R，x≠1）的递增区间是

x 1

（A）x≥2 （C）x≤0

（B）x≤0或x≥2 （D）x≤1 2或x≥2

3、过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O

为原点）的面积最小，则l的方程为（A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0

4、若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在 0, 上有两个不同的实数解x，则参

数a的取值范围是（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是

（A）42 （B）45 （C）48 （D）51

6、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4

＞a5的排列的个数是（A）8 （B）10 （C）14 （D）16

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程

×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x2

是．

2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，则通项公式an＝． 3、数799被2550除所得的余数是．

4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，则cosC＝．

313

5、设k、是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为

sin 和cos ，则的取值范围是． 6、数5 24

（n∈N）的个位数字是

三、（20分）

已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．

求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．

四、（20分）

（1）求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的两根

皆为整数．

（2）试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－

2a＝0有三个整数根．

五、（20分）

试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何 ∈R，都有cos2 ＋xcos ＋y≥0}之中．

第二试

一、（50分）

设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．

a2 b a c z

求证： 1的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．

ac b

二、（50分）

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，

D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：（1） AK⊥BC；

（2） AK AP AQ

2S△ABC

，其中S△ABC表BC

示△ABC的面积．

三、（50分）

给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程：

ai4

(j 1,2,3, ,n)． i j2j 1i 1

确定和式S

i 1

的值（写成关于n的最简式子）． 2i 1

参考答案

第一试

内容需要下载文档才能查看

二、填空题：

1811587

1、或；

3838

3、343；

2、7×2n-1－n2－2n－3； 4、

53 12

； 26

5、{ | ＝2n ＋或2n －

，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）． 2

1 1 1

x z y z 1 x y

三、证略，等号成立的条件是x y z 或 2或 2或 2．

3 z 0 y 0 z 0四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；

（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．

五、rmax＝42．

第二试

a c a c 4b i

一、证略（提示：直接解出z ，通过变形即得充分性成

立，然后利用反证法证明必要性）．

二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、

CP三线共点，从而AK⊥BC；记AR与PQ交于点T，则AQ＝AP，对于AK＜AP，可证∠APK＜∠AKP）．

三、S

2S△ABC

＝AR＞AT＞BC

2n 12

1．

下载文档

网友关注

简历

面试日语整理版

Jeries_Floorman_

2015乡镇公务员面试热点详解：努力改掉对“黄继光们”的误解

中部地区新农村建设现状＼存在问题和可持续发展对策

雍和宫人才2015年3月--6月招聘会安排

饵料脂肪含量对中华绒螯蟹能量收支和生长的影响_周宏轩

海洋浮游纤毛虫生长率的研究进展1_张武昌1_李海波1_2_丰美萍1_省略__2_

网友关注视频

《空中课堂》二年级下册数学第一单元第1课时

外研版英语七年级下册module1unit3名词性物主代词讲解

北师大版数学四年级下册第三单元第四节街心广场

沪教版八年级下册数学练习册20.4（2）一次函数的应用2P8

二年级下册数学第二课

【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案，辽宁省

精品·同步课程历史八年级上册第15集近代科学技术与思想文化

第12章圆锥曲线_12.7 抛物线的标准方程_第一课时(特等奖)(沪教版高二下册)_T274713

【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案，安徽省

【部编】人教版语文七年级下册《过松源晨炊漆公店（其五）》优质课教学视频+PPT课件+教案，江苏省

小学英语单词

30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数_第一课时(市一等奖)(冀教版九年级下册)_T144342

沪教版牛津小学英语（深圳用）五年级下册 Unit 12

8 随形想象_第一课时(二等奖)(沪教版二年级上册)_T3786594

七年级下册外研版英语M8U2reading

冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的竖式计算》

苏科版数学七年级下册7.2《探索平行线的性质》

8.练习八_第一课时(特等奖)(苏教版三年级上册)_T142692

六年级英语下册上海牛津版教材讲解 U1单词

二次函数求实际问题中的最值_第一课时(特等奖)(冀教版九年级下册)_T144339

冀教版小学数学二年级下册第二单元《租船问题》

外研版英语七年级下册module3 unit2第一课时

沪教版牛津小学英语（深圳用）六年级下册 Unit 7

3.2 数学二年级下册第二单元表内除法（一）整理和复习李菲菲

沪教版八年级下册数学练习册21.4（1）无理方程P18

冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的整理与复习》

外研版英语三起6年级下册（14版）Module3 Unit2

【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案，湖北省

北师大版八年级物理下册第六章常见的光学仪器（二）探究凸透镜成像的规律

外研版英语七年级下册module3 unit2第二课时

精品推荐

营造良好的企业文化

分类导航

生物学

陈志春

此文档贡献者

2015-04-15
贡献时间
密
下载次数

教育资源为主的文档平台

文档分类