【北师大版】2016秋九上期末训练(7)相似三角形的基本模型(附答案)

专题训练(七) 相似三角形的基本模型

下面仅以X字型、A字型、双垂型、M字型4种模型设置练习，帮助同学们认识基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题．

模型1 X字型及其变形

(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；

(2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO∽△CDO.

1．(恩施中考)如图，在ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于(  )

  A．1∶4     B．1∶3

  C．2∶3     D．1∶2

2．(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则EC(BE)的值是________．

3．已知：如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．

模型2 A字型及其变形

(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；

(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ACD∽△ABC.

4．如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长．

5．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：AE(AB)＝AD(AC).

6.如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：AB(1)＋CD(1)＝EF(1).

模型3 双垂型

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.

7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为(  )

  A．3    B．15

  C．9    D．3＋3

8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4, 那么CD＝________，AC＝________.

模型4 M字型

Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB.

9．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的长．

10．(常州中考改编)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°

(1)求证：△ABE∽△DEF；

(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．

参考答案

1．D 

2.3(3) 

3.∵∠ADE＝∠ACB，

∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，

即∠BDF＝∠ECF.

又∵∠BFD＝∠EFC，

∴△BDF∽△ECF.

∴CE(BD)＝CF(DF)，即4(8)＝2(DF).

∴DF＝4. 

4.∵BE＝2AB，AB＝3，

∴BE＝6，AE＝9.

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC∥AF.

∴△EBC∽△EAF.

∴AE(BE)＝AF(BC).

∴AF＝BE(AE·BC)＝6(9×3)＝2(9). 

5.证明：

∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.

又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.

又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB.

∴AC(AB)＝AB(AE).

又∵AB＝AD，∴AC(AB)＝AD(AE).

∴AE(AB)＝AD(AC). 

6.证明：

∵AB∥EF，

∴△DEF∽△DAB.

∴AB(EF)＝BD(DF).

又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.

∴CD(EF)＝BD(BF).

∴AB(EF)＋CD(EF)＝BD(DF)＋BD(BF)＝BD(BD)＝1.

∴AB(1)＋CD(1)＝EF(1). 

7.B 

8.6 3 

9.∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.

∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.

∴∠A＝∠ECD.

∴△ABC∽△CDE.

∴CD(AB)＝ED(BC).

又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，∴BC＝CD＝2.

∴2(AB)＝1(2).

∴AB＝4. 

10.(1)证明：

∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.

∴∠ABE＋∠AEB＝90°.

又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.

∴∠ABE＝∠DEF.

∴△ABE∽△DEF.

(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3.

∵△ABE∽△DEF，∴DF(AE)＝DE(AB)，即1(4－DE)＝DE(4).

∴DE＝2.

又∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF.

∴GC(ED)＝CF(DF)，即GC(2)＝3(1).

∴GC＝6.

∴BG＝BC＋CG＝4＋6＝10.