2017届高考理科数学二轮复习训练:1-5-1 直线与圆(参考解析)
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2017届高考理科数学二轮复习训练:1-5-1 直线与圆(参考解析)
一、选择题
1.[2015·郑州质量预测(一)]命题p:“a=-2”是命题q:“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的( )
A.充要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
答案 A
解析 直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直的充要条件是6a+12=0,即a=-2,因此选A.
2.已知直线l1与直线l2:3x+4y-6=0平行且与圆:x2+y2+2y=0相切,则直线l1的方程是( )
A.3x+4y-1=0
B.3x+4y+1=0或3x+4y-9=0
C.3x+4y+9=0
D.3x+4y-1=0或3x+4y+9=0
答案 D
解析 圆x2+y2+2y=0的圆心为(0,-1),半径为r=1,因为直线l1∥l2,所以可设直线l1的方程为3x+4y+c=0(c≠-6),由题意得32+42(|3×0+4×(-1)+c|)=1,解得c=-1或c=9.所以直线l1的方程为3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.故选D.
3.若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,则实数m的取值范围是( )
A.-1<m<1 B.-<m<
C.-<m< D.-2(2)<m<2(2)
答案 C
解析 因为原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,所以2m2<4,解得-<m<,故选C.
4.对任意的实数k,直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上三个选项均有可能
答案 C
解析 直线y=kx-1恒经过点A(0,-1),02+(-1)2-2×0-2=-1<0,即A在圆内,故直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交,故选C.
5.[2015·安徽高考]直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
答案 D
解析 圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心(1,1)到直线3x+4y=b的距离5(|7-b|)=1,所以b=2或b=12.
6.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为( )
A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1
答案 A
解析 ∵圆心(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1),∴圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
7.[2015·太原一模]已知在圆x2+y2-4x+2y=0内,过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.3 B.6
C.4 D.2
答案 D
解析 将圆的方程化为标准方程得(x-2)2+(y+1)2=5,圆心坐标为F(2,-1),半径r=,如图,显然过点E的最长弦为过点E的直径,即|AC|=2,而过点E的最短弦为垂直于EF的弦,|EF|
==,|BD|=2=2,∴S四边形ABCD=2(1)|AC|×|BD|=2,故选D.
8.[2015·课标全国卷Ⅱ]已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.3(5) B.3(21)
C.3(5) D.3(4)
答案 B
解析 解法一:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
∴E+F=0,(E+F=0,)∴F=1,(3,)
∴△ABC外接圆的圆心为3(3),故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为2(3)=3(21).
解法二:∵A(1,0),B(0,),C(2,),∴AB=BC=AC=2,△ABC为等边三角形,故△ABC的外接圆圆心是△ABC的中心,又等边△ABC的高为,故中心为3(3),故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为2(3)=3(21).
9.[2015·兰州诊断]已知抛物线C1:x2=2y的焦点为F,以F为圆心的圆C2交C1于A,B两点,交C1的准线于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则圆C2的标准方程为( )
A.x2+2(1)2=4 B.2(1)2+y2=4
C.x2+2(1)2=2 D.2(1)2+y2=2
答案 A
解析 由题设知抛物线的焦点为F2(1),所以圆C2的圆心坐标为F2(1).因为四边形ABCD是矩形,且BD为直径,AC为直径,F2(1)为圆C2的圆心,所以点F为该矩形的两条对角线的交点,所以点F到直线CD的距离与点F到直线AB的距离相等.又点F到直线CD的距离为p=1,所以直线AB的方程为:y=2(3),可取A2(3),所以圆C2的半径r=|AF|=2(1)=2,所以圆C2的标准方程为:x2+2(1)2=4,故选A.
10.
已知点A(-2,0),B(0,2),若点C是圆x2-2ax+y2+a2-1=0上的动点,△ABC面积的最小值为3-,则a的值为( )
A.1 B.-5
C.1或-5 D.5
答案 C
解析 解法一:圆的标准方程为(x-a)2+y2=1,圆心M(a,0)到直线AB:x-y+2=0的距离为d=2(|a+2|),
由图知圆上的点到直线AB的最短距离为d-1=2(|a+2|)-1,(S△ABC)min=2(1)×2×2(2)=3-,
解得a=1或-5.
解法二:圆的标准方程为(x-a)2+y2=1,设C的坐标为(a+cosθ,sinθ),C点到直线AB:x-y+2=0的距离为d=2(|a+cosθ-sinθ+2|)=+a+2(),
△ABC的面积为
S△ABC=2(1)×2×+a+2()
=+a+2(π),
当a≥0时,a+2-=3-,解得a=1;
当-2≤a<0时,|a+2-|=3-,无解;
当a<-2时,|a+2+|=3-,解得a=-5.
故a=1或-5.
解法三:设与AB平行且与圆相切的直线l′的方程为x-y+m=0(m≠2),圆心M(a,0)到直线l′的距离d=1,即2(|a+m|)=1,解得m=±-a,
两平行线l,l′之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离,
即2(|m-2|)=2(2-a-2|),
(S△ABC)min=2(1)×2×2(2-a-2|)=|±-a-2|.
当a≥0时,|±-a-2|=3-,解得a=1.
当a<0时,|±-a-2|=3-,解得a=-5.
故a=1或-5.
二、填空题
11.在平面直角坐标系xOy中,若圆x2+(y-1)2=4上存在A,B两点关于点P(1,2)成中心对称,则直线AB的方程为________.
答案 x+y-3=0
解析 根据题意,直线AB必过点P(1,2),且和过点P(1,2)的直径垂直,因为过点P(1,2)的直径的斜率为1,所以直线AB的斜率为-1,用点斜式可求得AB的方程为x+y-3=0.
12.已知圆M的圆心在x轴上,且圆心在直线l1:x=-2的右侧,若圆M被直线l1所截得的弦长为2,且与直线l2:2x-y-4=0相切,则圆M的方程为________.
答案 (x+1)2+y2=4
解析 由已知,可设圆M的圆心坐标为(a,0),半径为r,则
=r,(|2a-4|)解得r=2,(a=-1,)(a=-5(47)舍去),
所以圆M的方程为(x+1)2+y2=4,故填(x+1)2+y2=4.
13.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+ax+2ay-9=0(a>0)相交,公共弦的长为2,则a=________.
答案 2(10)
解析 联立两圆方程x2+y2+ax+2ay-9=0,(x2+y2=4,)
可得公共弦所在直线方程为ax+2ay-5=0,
故圆心(0,0)到直线ax+2ay-5=0的距离为a2+4a2(|-5|)=a(5)(a>0).故22(5)=2,解得a2=2(5),
因为a>0,所以a=2(10).
14.已知M={x|x2+x-12<0},任取b∈M,则直线l:x+2y+b=0与圆C:x2+y2-2x-2y-3=0相交的概率为________.
答案 7(6)
解析 由x2+x-12<0,得-4<x<3,故M=(-4,3).
圆C的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,其圆心为C(1,1),半径为r=.
由直线l和圆C相交,可得圆心C到直线l的距离小于圆的半径,即12+22(|1+2×1+b|)<,
整理得|b+3|<5,解得-8<b<2.
因为b∈M,所以-4<b<2.
故所求事件的概率为P=3-(-4)(2-(-4))=7(6),故填7(6).
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