2017届高考理科数学二轮复习训练：1-6-1 算法、复数、推理与证明（参考解析）

一、选择题

1．[2015·山西质监]若复数z满足z(i－1)＝(i＋1)²(i为虚数单位)，则为(  )

A．1＋i   B．1－i

C．－1＋i   D．－1－i

答案 A

解析 因为z＝i－1((i＋1)2)＝(i－1)(i＋1)(2i(i＋1))＝1－i，所以＝1＋i，故选A.

2．[2015·兰州诊断]复数1－i(1)(i是虚数单位)的虚部是(  )

A．1   B．i

C.2(1)   D.2(1)i

答案 C

解析 因为1－i(1)＝(1－i)(1＋i)(1＋i)＝2(1)＋2(1)i，所以该复数的虚部为2(1)，故选C.

3．[2015·大连一模]复数2－i(1－i)的共轭复数对应的点位于(  )

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案 A

解析 2－i(1－i)＝5(3)－5(1)i，所以其共轭复数为5(3)＋5(1)i.故选A.

4．[2015·吉林质监(三)]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S为12(11)，则判断框中填写的内容可以是(  )

A．n＝6

B．n<6

C．n≤6

D．n≤8

答案 C

解析 ∵2(1)＋4(1)＋6(1)＝12(11)，∴n＝6时满足条件，而n＝8时不满足条件，∴n≤6，故选C.

5．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n²(n∈N^*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(  )

A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k²

B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)²

C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)²

D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)²

答案 B

解析 假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k²，则当n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)＝k²＋(2k＋1)＝(k＋1)².故选B.

6．如图所示，由直线x＝a，x＝a＋1(a>0)，y＝x²及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a²<∫a(a＋1)x²dx<(a＋1)².类比之，∀n∈N^*，n＋1(1)＋n＋2(1)＋…＋2n(1)<A<n(1)＋n＋1(1)＋…＋2n－1(1)恒成立，则实数A等于(  )

A.2(1)   B.5(3)

C．ln 2   D．ln 2(5)

答案 C

解析 由题可知A＝∫n(2n)x(1)dx＝ln xn(2n)＝ln (2n)－ln n＝ln 2，故选C.

7．[2015·大连双基测试]执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为(  )

A．4   B．2

C.2(1)   D．－1

答案 D

解析 S和n依次循环的结果如下：1－a(1)，2；1－a(1)，4.所以1－a(1)＝2，a＝－1，故选D.

8．[2015·南昌一模]如图所示的程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有(  )

A．2个   B．3个

C．4个   D．5个

答案 B

解析 由程序框图可知y＝x3，|x|≤1(ln |x|，|x|>1)，

则根据题意有ln |x|＝x(|x|>1)或x3＝x(|x|≤1).

而由x3＝x(|x|≤1)得x＝0或±1.

令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝x(1)－1＝x(1－x)，当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数，又f(1)＝ln 1－1＝－1<0，故当x>1时，方程ln x＝x即ln |x|＝x无解；当x<－1时，ln |x|>ln 1＝0，则ln |x|>x，即ln |x|＝x无解，所以ln |x|＝x(|x|>1) 无解．

综上所述，符合条件的x值有3个．

二、填空题

9．如果z＝1＋i(1－ai)为纯虚数，则实数a等于________．

答案 1

解析 设z＝1＋i(1－ai)＝ti，则1－ai＝－t＋ti，－a＝t(1＝－t)，a＝1.

10．观察下列等式：1³＝1^2,1³＋2³＝3^2,1³＋2³＋3³＝6^2,1³＋2³＋3³＋4³＝10²，…，根据上述规律，第n个等式为________．

答案 1³＋2³＋3³＋4³＋…＋n³＝2(n(n＋1))²

解析 由题知1³＝1²；

1³＋2³＝2(2×3)²；

1³＋2³＋3³＝2(3×4)²；

1³＋2³＋3³＋4³＝2(4×5)²；

…

∴1³＋2³＋3³＋4³＋…＋n³＝2(n(n＋1))².

11．执行如图所示的程序框图，输出的S的值是________．

答案 －1－2(2)

解析 由程序框图可知，n＝1，S＝0；S＝cos4(π)，n＝2；S＝cos4(π)＋cos4(2π)，n＝3；…；S＝cos4(π)＋cos4(2π)＋cos4(3π)＋…＋cos4(2014π)＝251cos4(π)＋cos4(2π)＋…＋cos4(8π)＋cos4(π)＋cos4(2π)＋…＋cos4(6π)＝251×0＋2(2)＋0＋2(2)＋(－1)＋2(2)＋0＝－1－2(2)，n＝2105，输出S.

12．“求方程5(3)^x＋5(4)^x＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝5(3)^x＋5(4)^x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，不等式x⁶－(x＋2)>(x＋2)³－x²的解集是________．

答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)

解析 原不等式等价于x⁶＋x²>(x＋2)³＋(x＋2)，令f(x)＝x³＋x，易知函数在R上为单调递增函数， 故原不等式等价于x²>x＋2，解得x>2或x<－1，故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．