第三讲--函数的概念与性质

高中数学竞赛讲义

第三讲 函数的概念与性质

考察一个函数的基本套路：（1）三要素：定义域（定义域优先原则），对应法则（往往是已知的），值域（也可在考察完基本性质时再求）；（2）基本性质：对称性：轴对称，中心对称），有界性（最大值，最小值），周期性（最小正周期），连续性等；（3）函数图象：特殊点（函数图象与坐标轴的交点，最值点等），渐近线（图象走势，极限），图象变换（平移，对称，伸缩，旋转等）．

1.请试着按照上述思路考察如下几个函数： 2x?11x①f(x)?；②f(x)?x?，f(x)?2；

③f(x)?x

，x?2xx?1

f(x)?x?x]f(x)?x?[x]；⑤f(x)?2x?2?x，；④f(x)?[x，2x?2?x2x?2?x

，f(x)?x． f(x)?2?2，f(x)?x2?2?x2?2?x

2.求下列函数的值域

（1

）y?x

y?x

y?

y?

（2

）y?

y?

y?

（3

）y?x?1，

，y?2x?2 y?1)；

x（4

）y?x

，y??

，y?2x 2

3.设实数x,y?0，且2x?y?5，求函数f(x,y)?x2?xy?2x?2y的最大值．

111ax2?3x?b4.函数y?的最大值为，最小值为，求a,b的值． 222x?1

5.

设函数f(x)?a?0)的定义域为D，若所有点(s,f(t))(s,t?D)构成一个正方形区域，求a的值．

6.求证：连续四个自然数的乘积再加1必为一个完全平方数．

7.试求函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?5在闭区间[?3,3]上的值域．

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8.已知x?0，求证：x?11?2，x??xx1x?1

x?5． 2

11(x?)6?(x6?6)?29.（2001上交大）对于x?0，求f(x)?的最小值． 33(x?)?x?3xx

112510.已知a，b?R?．（1）若a?b?1，则(a?)(b?)?；（2）若a?b?2，ab4

1111则(a?)(b?)?4；（3）若a?b?m（定值），求y?(a?)(b?)的最小值． abab

11.（1）求函数f(x)?x??x?2的最小值．

（2）求函数f(x)?x??x?2?x?3的最小值．

（3）求函数f(x)?x??x?2?

（4）求函数f(x)?x??2x?2?（5）求函数f(x)?x??2x??

12.（1）求函数f(x)?

（2）求函数f?x??

（3

）求函数y?的最小值．

13.设函数f(x)?a?1，若存在区间[m,n]（m?n），使得f(x)在[m,n]上2x?x?2014的最小值． ?2014x?2014的最小值． ?

2014x?的最小值．

的值域也为[

m,n]，求实数a的取值范围．

14.设函数f(x)?ma,b(a?b)使得f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，求实数m的取值范围．

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1?15.判断下列函数的奇偶性：（1

）f(x)?，（2）x??2,x??1?x?2,x??1????x(1?x?0f(x)??2x,?1?x?1，（3

）f(x)??，（4）f(x)??1,?1?x?1，（5）???x?2,x?1?2,x?1?x(1?x?0??

1x2(2x?1)2

xf(x)?log9(9?1)?x，（6）f(x)???xln(e?1)，（7）f(x)?，（8

）22x2xx

f(x)?ln(2x2?21)x．

101x3k16.设f(x)?2，求?f()的值． 3x?3x?1101k?1

4x

17.（2005复旦）设f(x)?x，任取n?1,2,4?2k，记Sn??f()，（1）求nk?1

?1?M？ Sn?1n?1（2）是否存在常数M?0，?n?2，都有Sn；11??S2S3

18.（2007上交大）设f(x)?(1?a)x4?x3?(3a?2)x2?4a，试证明对任意的实数a：（1）方程f(x)?0总有相同的实根；（2）存在x0，恒有f(x0)?0．

19.已知a,b?R，关于x的方程x4?ax3?2x2?bx?1?0有一个实根，求a2?b2的最小值．

20.设正实数x,y满足xy?1，求函数f(x,y)?

中[x]表示不超过实数x

的最大整数）． x?y的值域（其[x][y]?[x]?[y]?1

21.设

a

为实数，记函数f(x)?的最大值为g(a)

．（1

）设t?t的取值范围，并把f(x)表示为关于t的函数u(t)；（2）1求函数g(a)的表达式；（3）解关于a的方程g(a)?g()． a

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22.对于函数y?f(x)，x?D，若同时满足以下条件：①f(x)在D上单调递增或单调递减；②存在区间[a,b]?D(a?b,ab?0)，使得f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b]，则称函数y?f(x)是闭函数．

（1）求闭函数f(x)?x3符合条件的区间D；

（2）判断函数y?3x?lgx是不是闭函数？若是，请求出相应的区间[a,b]；若不是，请说明理由．

（3

）若函数y?kk的取值范围．

23.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x?R，有f(x?T)?Tf(x)成立．

（1）函数f(x)?x是否属于集合M？说明理由．

（2）设函数f(x)?ax(a?0,a?1)的图象与y?x的图象有公共点，证明：f(x)?ax?M；

（3）问是否存在实数a，使得f(x)?xx?a属于集合M？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．