学而思高一春季物理竞赛CPHO预备队第3讲

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第3讲 刚体动力学

本讲提纲

1. 刚体动力学描述方式。

2. 转动惯量的理解以及转动定律的运用。

3. 寇尼西定理的运用。

说明：

学习刚体力学最重要的是把刚体的几个基本概念建立起来：转动惯量，质心，力矩，力矩冲量，角加速度。质心动能，相对质心动能等等。概念清晰了，对于公式的记忆和使用并不难，完全类比质点力学体系就可以了。某种程度上本讲也是对质点力学体系的一次很好的复习。

比较难的问题是联立平动方程与转动方程处理的问题，不过初学的同学做起来不痛快仅仅是因为不熟练而已，本讲整体上不算难。

知识模块

第一部 转动惯量 描述刚体运动的方法与参数

引入：

刚体就是不考虑形状改变的物体，生活中刚体旋转的例子很多，我们本讲就是带领大家学习这些现象背后的规律。首先我们注意观察刚体的旋转的描述方式，不难发现刚体上每一个点都在绕着一个轴运动，所有的点角速度一致。

进一步的分析陀螺的运动我们会发现，我们用鞭子抽打，让陀螺越转越快，刚体的动力学也可以用伽利略的观点“力是改变运动状态的原因”去理解。只不过，我们如何去定量描述呢？

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知识点睛

1. 转动惯量：

先研究一个很简单的问题：一跟长为L的轻杆，一段可以围绕着固定点O无阻力的转动，另一端用一个外力F垂直作用在上面，现在在距离O点r远处固定一个质量为m的质点，质点的运动情况如何？

首先我们去描述这种运动，质点做圆周运动，F的作用点与质点位移x，速度v，加速度a并不一样，但是它们的转动角度 ，角速度?，角加速度?（有些参考书用α，不过这个字母太容易和a弄混）是一样的。

复习一下它们的关系： v??r 且 a??r

注意r为到圆周运动圆心的距离。

那么解答这个问题并不难，可以使用牛顿定律进行计算，注意到轻杆受合外力为零，所以质点对杆的力必然向下，设这个力大小为N，根据力矩平衡：FL?Nr

再隔离质点，由牛顿定律知道： N=ma

代入得： FL?mr2?

写成这样的式子原因是因为这根杆角加速度一致，用这个参数更加能高效率的描述这种加速转动。从这个方程我们可以看出来，F实质是一个转动体系的外作用，但决定转动加速度的是其力矩。同时mr2这部分是转动体系的一种属性量，其大小会牵制外力矩的导致的角加速度。形象的结论就是质点距离圆心越远，相同的力矩对质点的角加速度就越小。这种性质和质点力学中的质量很相似，所以我们也把mr2叫做质点相对与一个点的转动惯量。显然相同的质点对不同位置的转动惯量一般不同。 总结就是：质点相对于某点的惯量(用J表示)定义为：

J=mr2

对于很多质点的情况，我们不妨看成上面的轻杆上有很多质点

每个质点{mi}依次对杆的力为{Ni}，同样的推导有：FL?

每一个质点有： Ni=miai

最后得到：FL???Nr ii?mr2

ii

对于质量连续分布的钢体，上面的求和会变为积分，设总外力矩为M，则：

M???r2dm （这个式子与F=ma逻辑结构完全一样）

其中rdm部分为惯量J，实际计算一般都是把dm转化为密度?与dr的关系，再对含着r的式子积分。

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2. 描述转动问题

首先我们要了解运动有很多种，并不仅仅是简单的平动与定轴转动两种。如下图：

我们先对一种简单的情况加以分析，刚体的平面平行运动：

刚体平面平行运动的特征是，刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚动，即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平面的截面作为研究对象。

刚体的平面平行运动，常有两种研究方法：一种是看成随基点（截面上任意一点都可作为基点）的平动和绕基点的转动的合运动；另一种是选取截面上的瞬时转动中心S（简称瞬心）为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样，刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。

确定瞬心的方法有两种：如左图所示，若已知截面上两点的速度，则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或如右图 所示，已知截面转动的角速度及截面上某一点A的速度vA，则在与速度垂直的直线上，与A点距离为vA/?的点即为瞬心。注意，瞬心的速度为零，加速度不一定为零。

由于质心很容易与力学原理结合，多数情况下，我们选取用

质心的运动再叠加整个刚体相对质心的转动来描述复制的转

动。比如高台跳水，无论人在空中做的动作多么花哨,人体的质

心运动的轨迹一定是一个斜抛的抛物线，因为根据质心系牛顿

定律，人质心处的加速度等于外力与质量之比，不考虑阻力的

话这个加速度一定为

g。

再比如一个轮子在地面上滚动，从运动的角度，很容易用轮心的平动叠加轮子相对于轮心处的转动去描述。正好质心的加速度一定之受外力（比如地面的摩擦）影响。

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附录：一些常见物体的转动惯量

过圆环中心与环面垂直

的转轴的转动惯量

2

转轴沿圆环直径的转动

惯量

J?mr

mr2J?

2

通过圆柱中心且与轴线垂直转轴的转动惯量

mr2J?

2

过圆柱体中心轴线转轴的转动惯量

J?

121mr?

ml2412

通过圆柱中心且与轴线垂直转轴的转动惯量

1

J?

ml2

12

过球体直径转轴的转动惯量

J?

1ml3

2

过球壳直径转轴的转动惯量

J

?

22mr5

J?

22mr3

【补充公式】平行轴定理

对不同的转轴，刚体的转动惯量不同，实验和计算都表明，如果几个轴相互平行，其中的一个轴过质心，刚体对此轴的转动惯量最小。若用Jc表示刚体对通过质心轴的转动惯量，对另一个与此平行并相距为d的定轴的转动惯量则为：J=Jc+md2。

例题精讲：

【例1】一根质量为m长为l的细长均匀棒绕端点轴转动惯量是否与绕着质心旋转的惯量相同？

【例2】试将一根质量为m的均匀细长木棒两端用绳水平掉起来，在剪断一边绳子的一瞬间，另一端

绳子上拉力为多少?（转动惯量值请查讲义前面附录）

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【例3】证明一个轮子在粗糙水平地面上做纯滚运动，理论上其永远不会停下。

【例4】求一个质量为m，半径为R的球，沿着倾角为θ的斜面无滑动滚下的加速度，并讨论实现上

述现象的必要条件。

【拓展题】如果斜面摩擦因数为μ且很小，球的加速度多大？

【例5】一定滑轮的质量为m，半径为r，转动惯量为I，通过一轻绳两边系质量为m1和m2的物体，

绳不能伸长，绳与滑轮也无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。

绳子一端接在天花板上。初始状态圆筒被挡板挡住，露出的绳子长度为l，然后突然撤掉挡板

（1） 求刚撤掉挡板的时候，圆筒的加速度和角加速度。

（2） 求这个瞬间绳子上与圆筒接触的点的加速度与圆筒上与绳子接触的点的加速度。

【例6】在光滑的固定的，倾斜角度为 的水平面上，有一个半径为r的薄壁圆筒，外面饶了一圈绳子，

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