浙江卷创新试题

数学创新试题 大成中学 金晓英

?(x?a)2?1. f(x)??1x??a?x?x?0x?0, f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是（）

A. [-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2]

考点：二次函数（耐克）函数，分段函数，函数的最值，数形结合，函数的平移变换，分类讨论 分析：显然需要对待定字母a进行分类讨论，对两段函数中的最小值进行取小，但是，鉴于作为选择题的最后一道，可优先考虑采用特殊值法，以节约考场宝贵的时间

解答：方法一：特殊值法

a?0时，显然f(0)最小，满足条件；

a?2时，f(0)?4是最小值，满足条件；

a??1时，f(-1)?0取最小值，不满足条件；

?选D

方法二：分类讨论法

当a?0时，最小值f(x)min?min{f(a),f(1)}，不是在f(0)处取得，不满足条件； 当a?0时，显然满足条件；

当a?0时，最小值f(x)min?min{f(0),f(1)}，?f(0)?a2?2?a；

??1?a?2，?0?a?2；

综上，a?[0,2]，故选D

2.已知曲线C:x??4?y2和直线，点A在曲线C上，点B在直线l上，P(m,0)使，则m的取值范围是______________

考点：圆的曲线与方程，直线，向量的坐标表示，函数的值域，数形结合

分析：一. 此类问题可优先采用数形结合的方法 二. 也可用消元、分离参数的方法，三. 也可用参数方程 解答：方法一：数形结合

由图可知：m的值在M1和M2之间，即m?[2,3].

2方法二：设A(?4?y,y),B(6,t)，则：

AP?(m?4?y2,?y),BP?(m?6,?t)，

1?AP?BP?0,?m?4?y?m?6?0,?m?3?4?y2,?m?[2,3]. 22

222方法三：?x??4?y,?x?y?4,x?[?2,0] 设x?2cos ,y?2sin , ?[?3?

2,2],B(6,y)，则：

AP?(m?2cos ,?2sin ),BP?(m?6,y)

?AP?BP?0,?(m?2cos )?(m?6)?0,?m?3?cos

?3?? ?[,],?cos ?[?1,0],?m?[2,3]. 22

x2y213.已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)过点(2,)，且它的离心率e?．直线 2ab

l:y?kx?t与椭圆C1交于M、N两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）当k?3时，求证：M、N两点的横坐标的平方和为定值； 2

22（Ⅲ）若直线l与圆C2:(x?1)?y?1相切，椭圆上一点P满足???，求实数?的取值

范围．

x2y2

(1)??186

222答案：(2)x1?x2?(x1?x2)?2x1x2?8为定值

(3)?的取值范围为?

-2，0??0?试题分析：中档题，涉及椭圆的题目，在近些年高考题中是屡见不鲜，往往涉及求标准方程，研究直线与

椭圆的位置关系，求椭圆方程，主要考虑定义及a,b,c,e的关系，涉及直线于椭圆位置关系问题，往往涉及应用韦达定理，涉及直线与圆的位置关系问题，往往利用特征三角形。本题在应用韦达定理的基础上，得到参数的表达式，应用二次函数性质使问题得解。

4. 已知数列{an}满足an?an?1?3an,n?N,a1?1。

（1）若a2?2,a3?x,a4?9，求x的取值范围；

（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn?a1?a2???an，若

范围；

（3）若a1,a2,?ak成等差数列，且a1?a2???ak?1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1,a2,?,ak的公差。

考点：不等式，等比数列，等比数列求和公式，恒成立问题，计算中取特殊值分段的间接算法，分类讨论 分析：第一小题直接可算，第二小题当n=1时，可得q的取值范围，因为对n?n恒成立，说明q的范围*13*1Sn?Sn?1?3Sn，n?N*，求q的取值3

1a11?qn

在此范围之内，根据sn?，分q=1，1?q?3,?q?1，三种情况进行分类讨论；第三小题直31?q

观可得k?1000，进而可得k的最大值及此时的d

解答：（1）据题意，a2?a3?3a2,?

又??132?x?6 31a3?a4?3a3,?3?x?27，综合可得3?x?6： 3

11n?1（2）由已知得：an?q，又a1?a2?3a1,??q?3 33

1n当q?1时，Sn?n,Sn?Sn?1?3Sn即?n?1?3n恒成立 33

qn?111qn?1qn?1?1qn?1当1?q?3时，Sn? ,Sn?Sn?1?3Sn,即??3q?133q?1q?1q?1

?3qn?1?qn?2?01qn?1?1 ??n?3,此不等式即?n?1n3q?1?q?3q?2?0

?q?1,故3qn?1?qn?2?qn(3q?1)?2?2qn?2?0

由qn?1?3qn?2?0，令n?1,，得q2?3q?2?0，解得1?q?2,

又当1?q?2，

q?3?0,?qn?1?3qn?2?qn(q?3)?2?q(q?3)?2?(q?1)(q?2)?0

?1?q?2

1qn?111qn?1qn?1?1qn?1当?q?1时，Sn? ,Sn?Sn?1?3Sn,即：??33q?133q?1q?1q?1

?3qn?1?qn?2?0此不等式即?n?1,3q?1?0,q?3?0 n?q?3q?2?0

?3qn?1?qn?2?qn(3q?1)?2?2qn?2?0

qn?1?3qn?2?qn(q?3)?2?q(q?3)?2?(q?1)(q?2)?0 1??q?1时，不等式恒成立 3

1综上，的取值范围为?q?2 3

（3）设公差为d，显然，当k=1000, d=0时，是一组符合题意的解，故kmax?1000 则由已知得1?(k?2)d?1?(k?1)d?3(1?(k?2)d) 3

?(2k?1)d??2 ???(2k?5)d??2

当k?1000时，不等式即d??

所以d的取值范围为d??22,d?? 2k?12k?52 2k?1

k(k?1)da1?a2???ak?k??1000 2

?k?1000时,d?2000?2k2?? k(k?1)2k?1

解得1000??k?1000?999000

?k?1999

k的最大值为1999, 此时公差d?

2000?2k1?? k(k?1)1999