错位相减法求和

　　1.（12江西T16）

　　已知数列?an?的前n项和Sn??

　　（1）确定常数k，求an；

　　（2）求数列?12n?kn(k?Ν?),且Sn的最大值为8. 2?9?2an??的前n项和Tn. n2??

　　1211n?kn取最大值，即8??k2?k2?k2， 222【试题解析】（1）当n?k?Ν?时，Sn??

　　故k?4，从而an?Sn?Sn?1?

　　又?a1?S1?9?n(n…2)，(步骤1) 279，?an??n. （步骤2） 22

　　9?2ann23n?1n??b?1?????n?1， （2）?bn?，……T?b?b?nn12nn?12n?2222222

　　11n1nn?2?Tn?2Tn?Tn?2?1??...?n?2?n?1?4?n?2?n?1?4?n?1.（步骤3） 222222

　　2.(11四川T20)

　　设d为非零实数，an?1122n?1n?1nn(Cnd?2Cnd???(n?1)Cnd?nCnd(n?N*) n

　　(1)写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由； (II)设bn?ndan(n?N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．

　　a1?d

　　【试题解析】（1）a2?d(d?1)

　　a3?d(d?1)2

　　1223n?1nn?1an?C0

　　nd?Cnd?Cnd???Cnd?d(1?d)

　　an?1?d(1?d)n

　　an?1?d?1an

　　因为d为常数，所以{an}是以d为首项，d?1为公比的等比数列.（步骤1）

　　（2）bn?nd2(1?d)n?1

　　Sn?d2(1?d)0?2d2(1?d)1?3d2(1?d)2????nd2(1?d)n?1

　　?d2[(1?d)0?2(1?d)1?3(1?d)2????n(1?d)n?1](1)

　　(1?d)Sn?d2[(1?d)1?2(1?d)2?3(1?d)3????n(1?d)n](2)（步骤2）

　　1?(1?(1?d))n

　　（2）?（1）?dSn??d[?d2n(1?d)n]?d?(d2n?d)(1?d)n 1?(1?d)2

　　?Sn?1?(dn?1)(1?d)n（步骤3）

　　3.（10宁夏T17）

　　设数列?an?满足a1?2,an?1?an?3?22n?1,

　　（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

　　（Ⅱ）令bn?nan，求数列的前n项和Sn

　　【试题解析】（Ⅰ）由已知，当n≥1时，

　　an?1?[(an?1?an)?(an?an?1)???(a2?a1)]?a1

　　?3(22n?1?22n?3???2)?2

　　?22(n?1?)1. (步骤1)

　　而a1?2,所以数列{an}的通项公式为an?22n?1. (步骤2) （Ⅱ）由bn?nan?n?22n?1知

　　Sn?1?2?2?23?3?25???n?22n?1 ①(步骤3) 从而 22?Sn?1?23?2?25?3?27???n?22n?1 ②(步骤4) ①-②得

　　2 (1?2?)Sn??23?25?2??n?22?1n?n?2 . 2

　　2n?1?2].(步骤5) 即Sn?[(3n?1)21

　　9

　　4.（10四川T21）

　　已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2

　　（Ⅰ）求a3，a5；

　　（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；

　　－（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.

　　【试题解析】

　　（Ⅰ）由题意，令m?2,n?1可得a3?2a2?a1?2?6.（步骤1）

　　再令m?3,n?1可得a5?2a3?a1?8?20.（步骤2）

　　当n?N*时,由已知(以n?2代替m)可得 （Ⅱ）a2n?1?a2n?1?2a2n?1?8（步骤3）

　　于是[a2(n?1)?1?a2(n?1)?1]?(a2n?1?a2n?1)?8即

　　bn?1?bn?8. 所以，数列?bn?是公差为8的等差数列.（步骤4） （Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知?bn?是首项b1?a3?a1?6,公差为8的等差数列. 则bn?8n?2.即a2n?1?a2n?1?8n?2,（步骤5） 令由已知（令m=1）可得，

　　那么,an?1?an?a2n?1?a2n?1

　　2a2n?1?a12??n?1?,（步骤6） 28n?2?2n?1?2n ?2n?1=2an?

　　于是，cn?2nqn?1（步骤7）

　　当q=1时，Sn?2?4?6???2n?n?n?1?.（步骤8） 当q?1时，Sn?2?q0?4?q1?6?q2???2n?qn?1.（步骤9） 两边同乘q可得qSn?2?q?4?q?6?q???2?n?1??q123n?1?2n?qn（步骤10） 上述两式相减即得

　　(1?q)Sn?2(1?q1?q2?q3???qn?1)?2n?qn

　　1??n?1?qn?nqn?11?qn

　　n =2 ?2nq=21?q1?q

　　nqn?1??n?1?qn?nqn?1

　　所以Sn?2（步骤11） 2?q?1?

　　?n?n?1??q?1??n?1nn?1综上所述，Sn??nq??n?1?q?nq（步骤12） 2q?1??2?q?1???

　　5.(09全国I T20)

　　在数列{an}中，a1?1,an?1?(1?)an? （I）设bn?1nn?1 2nan，求数列{bn}的通项公式； n

　　（II）求数列{an}的前n项和Sn.

　　【试题解析】（I）由已知有an?1an1??n， n?1n2

　　1 即 bn?1?bn?n， 2

　　1从而 b2?b1? 2

　　1b3?b2?2 2

　　…

　　1(n…2)（步骤1） 2n?1

　　111于是 bn?b1??2?…?n?1 222

　　1 =2?n?1(n…2)（步骤2） 2bn?bn?1?

　　又 b1?1

　　所以数列{bn}的通项公式: bn?2?

　　（II）由（I）知an?2n?

　　n1*(n?N)（步骤3） n?12n, n?12nnkk?Sn=?(2k?k?1)??(2k)??k?1（步骤4） 2k?1k?1k?12nn而?(2k)?n(n?1),又?2k?1k?1

　　nkk?1是一个典型的错位相减法模型， 易得

　　n?2kn?2??4（步骤5） n(n?1) =?4?S??nn?1k?1n?1222k?1