《概率论与数理统计》课后习题答案第一章
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《概率论与数理统计》课后习题答案第一章
概率论与数理统计课后答案
习题1.1解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。
解: (正,正),(正,反),(反,正),(反,反)
A (正,正),(正,反) ;B (正,正),(反,反) C (正,正),(正,反),(反,正)
2. 在掷两颗骰子的试验中,事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数偶数”,
“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB,A B,C,BC,A B C D中的样本点。
解: (1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6) ;
AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1) ;
A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1) ; C ;BC (1,1),(2,2) ;
A B C D (1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)
3. 以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下
事件:
(1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。
解:(1)A; (2)AB; (4)AB AC BC; (8)ABC; (9)
(3)A B C;
(5)A B C;
(6); (7) C B A或
4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:A2, A2
A3, A1A2, A1 A2, A1A2A3,
A1A2 A2A3 A1A3.
解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件A,B,C满足ABC ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:
A B C,AB C,B AC.
解:如图:
AC
AAABC
ABB
BC
B
A B C A AC AB ABC BC B C;AB C AB C;
B AC AB B BC
B AB B BC
6. 若事件A,B,C满足A C B C,试问A B是否成立?举例说明。
解:不一定成立。例如:A 3,4,5 ,B 3 ,C 4,5 ,
那么,A C B C,但A B。
7. 对于事件A,B,C,试问A (B C) (A B) C是否成立?举例说明。
解:不一定成立。 例如:A 3,4,5 ,B 4,5,6 ,C 6,7 , 那么A (B C) 3 ,但是(A B) C 3,6,7 。
8. 设P(A)
,P(B) ,试就以下三种情况分别求P(B):
23
(1)AB , (2)A B, (3)P(AB) .
8
1; 2
解:
(1)P(B) P(B AB) P(B) P(AB) (2)P(B) P(B A) P(B) P(A)
1; 6
113
(3)P(B) P(B AB) P(B) P(AB) 。
288
9. 已知P(A) P(B) P(C)
,P(AC) P(BC) ,P(AB) 0求事件416
A,B,C全不发生的概率。
解:P() PA B C 1 P(A B C)
=1 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)
11 111 3
1 0 0
1616 8 444
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯,假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口,试求下列事件的概率:A “三个都是红灯”=“全红”; B “全绿”; C “全黄”; D “无红”; E “无绿”; F “三次颜色相同”; G “颜色全不相同”; H “颜色不全相同”。
解:
1 1 112 2 28
;P(D) P(E) ;
3 3 3273 3 327
11113!2
P(F) ;P(G) ;
27272793 3 39
18
P(H) 1 P(F) 1 .
99P(A) P(B) P(C)
11. 设一批产品共100件,其中98件正品,2件次品,从中任意抽取3件(分三种情况:一次拿3件;每次拿1件,取后放回拿3次;每次拿1件,取后不放回拿3次),试求:
(1) 取出的3件中恰有1件是次品的概率; (2) 取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解:
一次拿3件:
211221C98C2C2C98 C2C98
(1)P ; (2) 0.0588P 0.0594; 33
C100C100
每次拿一件,取后放回,拿3次:
2 982
3 0.0576; (1)P 3
100
每次拿一件,取后不放回,拿3次: (1)P
983
0.0588; (2)P 1 3
100
2 98 97
3 0.0588;
100 99 98
98 97 96
0.0594 (2)P 1
100 99 98
12. 从0,1,2, ,9中任意选出3个不同的数字,试求下列事件的概率:
A1 三个数字中不含0与5 ,A2 三个数字中不含0或5 。
解:
3C87
P(A1) 3 ;
C1015
3312C9 C8C81414
或 P(A2) P(A) 1 23315C10C1015
13. 从0,1,2, ,9中任意选出4个不同的数字,计算它们能组成一个4位偶数的概率。
5P93 4P8241
解:P 4
90P10
14. 一个宿舍中住有6位同学,计算下列事件的概率: (1)6人中至少有1人生日在10月份; (2)6人中恰有4人生日在10月份; (3)6人中恰有4人生日在同一月份;
解:
4
C6 112116
(1)P 1 6 0.41; (2)P 0.00061; 6
121214C12C6112
(3)P 0.0073 6
12
15. 从一副扑克牌(52张)任取3张(不重复),计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
解:
131213111C4C13 C4C13C39C4C13C13C13P 0.602或P 1 0.602 33
C52C52
习题1.2解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件,结果不是三等品,求取到的是一等品的概率。
解:
令Ai “取到的是i等品”,i 1,2,3
P(A13)
P(A13)P(A1)0.62
。
P(3)P(3)0.93
2. 设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件产品中有1件不合
格品,求另一件也是不合格品的概率。
解:
令A “两件中至少有一件不合格”,B “两件都不合格”
P(AB)P(B)
P(B|A)
P(A)1 P()
2C4
2C102C10
1
C62
1 5
3. 为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时,系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下,系统II仍有效的概率为0.85,求
(1) 两种报警系统I和II都有效的概率; (2) 系统II失灵而系统I有效的概率; (3) 在系统II失灵的条件下,系统I仍有效的概率。
解:令A “系统(Ⅰ)有效” ,B “系统(Ⅱ)有效” 则P(A) 0.92,P(B) 0.93,P(B|) 0.85 (1)P(AB) P(B B) P(B) P(B)
P(B) P()P(B|) 0.93 (1 0.92) 0.85 0.862 (2)P(A) P(A AB) P(A) P(AB) 0.92 0.862 0.058 (3)P(A|)
P(A)0.058
0.8286
P()1 0.93
4. 设0 P(A) 1,证明事件A与B独立的充要条件是
P(B|A) P(B|)
证:
: A与B独立, 与B也独立。 P(B|A) P(B),P(B|) P(B) P(B|A) P(B|)
: 0 P(A) 1 0 P() 1
P(AB)P(B)
又 P(B|A) ,P(B|)
P(A)P()
P(AB)P(B)
而由题设P(B|A) P(B|)
P(A)P()
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